惯性是描述具有质量的物体在外力作用下，从静止变为运动，或从运动变为静止时表现出的抵抗力。惯性，或物体抵抗运动状态改变的趋势，与质量成正比。相较于质量较轻的物体，质量较重的物体在静止时难以加速运动，在运动时也难以停止。
在物理学中，“转动”是描述一个线性量对应的旋转物体。“转动惯量（惯性矩）”就是物体的线性运动的旋转当量，通常用“I”来表示。与之类似的一个词“（力矩）”就是线性力的旋转当量，也可称作扭矩。
旋转物体相对于其旋转轴的转动惯量I等于它的质量与它本身到旋转轴距离的平方的乘积。这个算法只对均匀物体有效，比如说一个绑在绳子上的以一定角速度旋转的球体。
而对于不均匀物体，转动惯量的计算通常是由各个独立的点质量与各点到其旋转轴距离的乘积之和。这种通用算法可以计算任何物体的转动惯量，因为所有的物体都可以看作是许多类似点质量的组合。
要计算这种点质量分布在不同距离的不均匀物体的转动惯量，我们用到了微积分，因为微积分可以灵活计算连续变量。
我们将物体质量进行微分，将物体分为无穷个小质量块微分dm，转动惯量的微分即为dI = r^²dm。要计算物体总质量M的转动惯量I，我们将物体质量微分dm对应的转动惯量的微分dI进行求和。或者简而言之，我们对其进行积分：
假设一个细杆的质量为M，长度为L，其线性密度λ即为M/L。根据其旋转轴的位置，细杆具有两个矩：一个是当旋转轴垂直穿过细杆的中心，同时穿过细杆的重心；第二个是当轴垂直于细杆的一端。
与无穷个小质量块微分dm类似，假设其具有无穷个小长度单元微分dl，将重心的原点置于旋转轴上，我们会发现从原点到左端的距离为-L/2，而从原点到右端的距离是+L/2。
如果细杆是均匀物体，那么其线密度是一个常量
将式子中dm的值带入转动惯量的计算，可得：
由于积分分量现在为长度（dl），积分上下限需要从公式中之前的质量M改为分量长度L。
为了计算以垂直于细杆端点的轴线的转动惯量，将原点置于细杆末端。
使用相同的方程式，但重新调整积分上下限，因为轴线现在位于末端，积分从零（原点）到细杆另一端的L处。
积分后，可以得到：
也可以使用平行轴定理计算相同的转动惯量，如下所示：
当长度L为L/2时，会发现：
这与之前的发现完全一致。
引用：
- WJ百科全书
- 天文学名词
- Akash Peshin - sciabc
鸣谢：
- 麻省理工学院
- 波士顿大学物理系
- 佐治亚州立大学
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旋转物体的转动惯量
旋转物体相对于其旋转轴的转动惯量I可以表示为：
I = Σ(m r²)
其中，m是物体的质量，r是物体到旋转轴的距离。
若物体为均匀分布，则上式可简化为：
I = M k²
其中，M是物体的总质量，k是物体到旋转轴的旋转半径。
不均匀物体的转动惯量
对于不均匀物体，其转动惯量可以表示为：
I = ∫dm r²
其中，dm是物体中微小质量元件的质量，r是微小质量元件到旋转轴的距离。
通过积分整个物体，我们可以得到总转动惯量I。
细杆的转动惯量
对于长度为L、质量为M的细杆：
垂直穿过中心轴的转动惯量：
I = (1/12) M L²
垂直于一端轴的转动惯量：
I = (1/3) M L²
均匀细杆的转动惯量
对于线密度为λ的均匀细杆：
垂直穿过中心轴的转动惯量：
I = (1/12) M L² = (1/12) (λ L) L²
垂直于一端轴的转动惯量：
I = (1/3) M L² = (1/3) (λ L) L²
为了计算垂直于杆一端旋转的转动惯量，我们以杆末端为原点。
尽管采用相同的公式，但需修改积分范围，因原点现在位于末端，所以积分范围为 0（原点）到 L（杆另一端）
经过积分得到：
采用平行轴定理同样可以得到相同的转动惯量，如下：
当杆长 L 为 L/2 时，我们发现：