对于一个实对称矩阵而言，除了能通过可逆矩阵相似对角化，还可以通过一个正交矩阵进行相似对角化。实对称矩阵中，不同特征值所对应的特征向量相互正交化，而矩阵特征值均为实数。在考研中，应重点掌握用正交矩阵相似对角化的技巧，其中正交矩阵由彼此正交、长度为 1 的特征向量构成，而对角矩阵则由特征值组成。
实对称矩阵：定义为元素完全是实数的对称矩阵。
实对称称矩阵的特征值、特征向量及相似对角化：
- 实对称矩阵的特征值必然是实数。
- 属于不同特征值的实对称矩阵特征向量正交化。
- 实对称矩阵可以相似于对角矩阵。
求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤：
求实对称矩阵正交相似于对角矩阵的步骤
题型一：实对称矩阵的正交相似对角矩阵
例 1：
解题思路：（1）非齐次线性方程组无穷多个解的充要条件是矩阵 A 的秩等于增广矩阵的秩且小于 3。
（2）利用求实对称矩阵相似对角化的方法解题。
解：
题型二：相似对角矩阵的应用
例 2：设 A 是 n 阶矩阵，特征值为 1，2，3，....，n，求 |3E + A|
分析：利用特征值和行列式性质可解。
解：
