有理数是一个整数a与非零整数b之比，简言之，它是一个分数，而不是一个“有道理”的数。那么，有多少有理数？约在公元前580年至公元前500年間，“万物皆数”的毕达哥拉斯学派认为，整个宇宙中的一切现象都可以用有理数描述，可见有理数是极其丰富的。
该学派的弟子希帕索斯惊人的发现表明了有理数的局限性。他證明了有理数无法与连续的无限直线理想契合，有理数并不能填满数轴上的所有点。在数轴上存在着无法用有理数表示的“间隙”，而这些“间隙”正是无理数。
那么，有多少无理数？与有理数相比，哪种数更多？下面从三个方面进行比较：
一、直观的比较
一些常见的无理数包括：①非完全平方数的平方根，例如：
，
，
，···；②圆周率
；③自然对数的底数e。事实上，我们还可以构造出更多无理数，例如：
（其中
{0}），
（其中
且
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根据直觉，无理数的数量应远大于有理数。
基数比较
实数中的有理数形成一个稠密集合，即在实数轴上的任何小区间中都存在有理数（而且有无限多个）。有理数集合是可数的，这意味着可以通过唯一方式与整数集合一一对应，其基数为 N0。已知，所有无限集合中最小的基数为 N0，而实数集合具有连续基数 c，这意味着无理数集合也具有连续基数 c。根据康托-伯恩斯坦定理：
可以得知，显然在数量上，无理数远多于有理数。
测度比较
考虑闭区间 [0,1] 中的有理数和无理数。该区间的长度显然为 1，这意味着 [0,1] 中有理数和无理数的区间长度之和为 1。[0,1] 中有理数的勒贝格外测度为 0，因此该区间无理数的勒贝格外测度为 1。从长度角度来看，无理数比有理数多得多。
通过以上三个方面的比较，我们可以确定无理数的数量远大于有理数。通过测量闭区间 [0,1] 中有理数和无理数的勒贝格外测度，我们可以对无理数比有理数多多少有一个更生动的了解。
作者：北京二中亦庄学校 邢丹
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