大家对反函数的初印象可能是自变量和因变量互换位置，函数与反函数关于 y=x 对称。某些关键问题也容易被忽视，例如哪些函数存在反函数、三角函数和反三角函数之间的关系、以及反函数的性质在考研中如何应用。
由于反函数在考研中并非重点，反函数的定义和属性通常是易于忽视的要点，这对追求高分的考生而言不利。
哪些函数存在反函数？
任何函数都存在反函数吗？
否，存在反函数的充要条件是 x 和 y 一一对应。这意味着当 x 取特定值时，对应 y 值唯一；当 y 取特定值时，对应 x 值也唯一。如下图所示，当 x 为 1 时，y 仅为 12；当 y 为 12 时，x 也只能为 1。这就是一一对应关系。
事实上，我们更多接触的函数是连续函数，而非离散函数或分段不连续函数。
连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内单调。我们可以通过以下几幅图来理解连续函数存在反函数的充要条件。
图 (A) 中的函数 f(x) 先递增后递减，不单调，因此不存在反函数。图像中明显可见，对于 y 的某些值，x 可能有两个值，表明图 (A) 中的 x 和 y 不是一一对应的，自然不存在反函数。
图 (B) 的函数 f(x) 单调递增，因此存在反函数。图像中也能清晰看出，对于 y 的每个值，对应一个 x 值；同样，对于 x 的每个值，对应一个 y 值，所以图 (B) 存在反函数。
图 (C) 的函数是递减函数，但非单调递减，因此不存在反函数。
连续函数存在反函数的充要条件实质上是从函数存在反函数的充要条件中推论出来的。结合图像可以记忆连续函数存在反函数的充要条件。
三角函数和反三角函数的关系
简而言之，反三角函数是三角函数的反函数。更具体、更准确的说法，反三角函数是三角函数在单调区间内定义的反函数。这意味着考虑三角函数的反三角函数时，必须在三角函数的单调区间内进行。
以下以正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数为例进行说明。
前文提到，连续函数存在反函数的充要条件是函数在定义域内单调。从三角函数的图像观察，没有哪个函数在定义域内是单调的，但如果将各个三角函数缩小到特定区间内，三角函数在该区间内就是单调的，进而在该区间内我们可以定义反三角函数。
正弦函数 sinx 在区间 [-Π/2,Π/2] 内存在反函数，表示为反正弦函数 arcsinx。
余弦函数 cosx 在区间 [0, Π] 内存在反函数，表示为反余弦函数 arccosx。
正切函数 tanx 在区间 [-Π/2, Π/2] 内存在反函数，表示为反正切函数 arctanx。
余切函数 cotx 在区间 [0, Π] 内存在反函数，表示为反余切函数 arccotx。
对比上图可以发现，函数的定义域是其反函数的值域，函数的值域是其反函数的定义域。务必要牢记上述三角函数在特定区间内定义的反三角函数关系表，对学习很有帮助。
3. 反函数重要考点
在考研中，我们需要关注反函数的两个公式和一条性质。
两个公式就是反函数的一阶导数和二阶导数公式，导数公式如下。
反函数具有以下性质：对自变量x依次施加运算法则f和反函数运算法则φ，所得结果为原始自变量x。
请仔细思考这条性质的由来。然后查看以下问题，你能解决吗？