关于拐点的定义，目前各大高等数学教材和网络上说法不一，存在两类常见定义：
定义 1：普遍情形
設曲线 y=f(x) 在点 (x0, f(x0)) 处有穿过曲线的切线，且在切点附近，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的。这时称点 (x0, f(x0)) 为曲线 y=f(x) 的拐点。
理解要点：
- 曲线和切线在点 (x0, f(x0)) 互相穿过。
- 在 (x0) 某邻域内，右侧邻域 U+(x0) 和左侧邻域 U-(x0) 的凸性是严格且相反的。
定义 1 存在局限性。以函数 f(x) = |x2-1| 为例，其在点 (1, 0) 和 (-1, 0) 不可导，因此不存在切线，无法满足定义 1 中的「曲线和切线互相穿过」条件。这意味着这两个点不符合定义 1 的拐点定义，但实际情况却是，它们具有「凹与凸的分界点」的性质。
定义 2：通用定义
函数 y=f(x) 在点 x0 的某邻域内连续，若 (x0, f(x0)) 是曲线 y=f(x) 凹与凸的分界点，则称 (x0, f(x0)) 为曲线 y=f(x) 的拐点。
理解要点：
- 曲线在 (x0) 某邻域内连续。
- 点 (x0, f(x0)) 是曲线 y=f(x) 凹与凸性质分界点。
定义 2 弥补了定义 1 的不足，涵盖了更多特殊情况，例如 f(x) = |x2-1| 在 (1, 0) 和 (-1, 0) 的拐点性质。
定义 1 与定义 2 的关系
定义 1 可视为「可导拐点」的定义，即曲线在拐点处可导，并满足切线穿过曲线的条件。而定义 2 则是拐点的通用定义，适用于各种情况，包括不可导的拐点。
结论
拐点的定义需要根据实际情况综合考虑。对于可导的拐点，采用定义 1更为合适；对于不可导的拐点，则采用定义 2 更加全面准确。