正比例函数中的一线三直角应用
在数学学习中，特别是八年级的正比例函数中，关于其应用，最基础的部分就是求解析式。根据正比例函数的特点，只需要知道直线上一个点的坐标即可求得比例系数 k。而在坐标系中求点坐标，学生需要将几何线段与坐标之间的联系熟练运用，将坐标和平面中的线段长度联系起来。
题目
如图所示，正比例函数 y=kx 经过点 A，点 A 位于第四象限，过点 A 作 AH⊥x 轴，垂足为点 H，点 A 的横坐标为 3，且三角形 AOH 的面积为 3。
(1)求正比例函数的解析式；
(2)若直线 y=mx(m<k) 上有一点 B 满足 ∠AOB=45°，且 OB=AB，求 m 的值。
解析：
(1)正比例函数经过点 A，需要求出点 A 的坐标。横坐标已给出为 3，纵坐标需要通过△AOH 的面积求得。△AOH 是直角三角形，面积为 OH 与 AH 乘积的一半。已知 OH=3，因此可求得 AH=2，由此得出点 A 的坐标为 (3,-2)。代入 y=kx，可求得 k=-2/3，故正比例函数的解析式为 y=-2/3x；
(2)当观察到 ∠AOB=45° 时，八年级学生的解题经验中很容易联想到等腰直角三角形。恰好有这么一个特殊锐角，那么图中的 △AOB 是否这样的三角形呢？
结合题目中的条件 OB=AB，答案是肯定的。△AOB 是一个等腰直角三角形，形成了一个一线三直角最基本的条件。构造该条件的方法是过点 B 向 y 轴作垂线，如下图所示：
图中 △OBE 与 △BAF 可以轻松得到全等条件：∠BEO=∠F=90°，利用同角的余角相等证明 ∠ABE=∠BAF，再加上 OB=AB，得到 △OBE≌△BAF，所以 BE=AF，OE=BF。需要注意的是，需要知道 BE 和 OE 的长度，分别对应 B 点的横纵坐标，因此需要寻找它们之间的等量关系。图中四边形 OEFH 可以证明是一个矩形，于是 EF=OH=3，而 OE=HF，下面进行替换，OE=AH+AF=2+AF=2+BE，BF=EF-BE=OH-BE=3-BE，所以可得方程 2+BE=3-BE，可求出 BE=1/2，因此 OE=5/2。至此得出点 B 的坐标为(1/2,-5/2)，代入 y=mx，可求出 m=-5。
解题反思
这道题目作为一道正比例函数习题课的思考题，对于刚刚学习完正比例函数的八年级学生而言，综合力度较大，完成不易。借助这道题，学生可以明白正比例函数的直线特征与几何完全一致，只是在坐标系中，几何中的直线可以用解析式表示，实现了几何代数化。这为后续学习一次函数的应用提供了一个预告片。能够从这道题反思自身思路缺陷的学生，将在后续学习中如鱼得水。
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