欧拉公式
欧拉公式看着好像完全摸不着头脑：
e^ix ＝cos(x)+isin(x)
就是说：
e^iπ =cos(π)+isin(π) = -1+i(0) = -1
结果真是匪夷所思，所以我准备把它改写一下：
e^iπ ＝－1
这个方程式把虚指数和余弦函数联系到了一块儿。它到底是怎么把像 π 这样的无穷不循环小数这么轻易就变成 -1 的？难道这有什么直观的解释吗？ 这里我不得不提到19世纪的数学家 Benjamin Peirce：
“这肯定是个悖论；我们不可能理解它，我们甚至都不知道它是什么意思，但是既然我们证明了它，那么我们就知道它是真的。”
这种态度让我甚是恼火。我们难道应该直接束手就擒，死记硬背吗？不！
欧拉公式描述了沿着圆周运动的两种方式。就这么简单吗？最优雅的公式之一竟然就是用来绕圈转的？没错——今天我们就来看看这是为什么。
11.1 理解cos(x)+isin(x)
方程式的符号承载的东西太多了。有时它只表示“把一个东西变为另一个东西”（比如说 x＝3）。而另一些时候它只是表示“描述同一事物的两种不同方法”（比如说根号负一等于i）。 欧拉公式就是在描述两种描述同一现象的等价方法：绕圈转动。为了达到我们的目的，假设你绕圈转动了x弧度：
- cos(x) 便是 x 轴的坐标（水平距离）
- sin(y) 便是 y 轴的坐标（垂直距离）
cos(x)+isin(x) 是一种聪明的方法，它把两个坐标合并成一个复数。把“复数有两个维度”类比成它们是一个二维平面上的一个点就好。还记得第一章中我们对圆圈下的定义是什么吗？现在我们把它改成这样。 当我们写下 x＝π（在这个例子中表示让 x 指向 π ）时，表示我们沿着单位圆周运动。
由于圆周长是 2π，所以我们行走了半程。 从 1 开始行走 π 弧度，我们的起始点在单位圆上，终点就是 -1。没有虚部（y 轴坐标），因为 -1 就在实轴上。如果我们让 x＝-π，并沿顺时针方向走的话，我们也会得到相同的结果：-1。 酷吧。所以欧拉公式就是说 eix 和(cos(x)+isin(x))表示了同一沿着单位圆周运动的过程。现在我们来看看 e 是怎么做到这一点的。
11.3 把增长旋转一下
一般的增长就是把一个数字沿着一个固定方向推进：2×3就是把2沿着原始方向，把它推到3倍大（6）。
但是一个虚数倍的增长会把你的“增长”旋转90度到虚轴上！简单来说一个与原来方向正交的推动并不会让你的增长速度变快或变慢——它是要把你旋转一下！任何实数乘以 i 并不改变大小，只会改变方向。 直观地讲，当我们在讨论虚增长时，实际上就是在说：
虚增长：当我增长的时候，不要把我推向前或向后，而是要旋转我。 一个常数旋转并不会改变你的大小——你只是会绕圈圈而已。
11.4 但是我们不是应该越转越快吗？
并不是这样的。我来给你解释一下：常规的增长让你在原来方向上前进或后退。所以你从1开始，到2，4，8，16，你每次都是乘以一个2，然后你依然是个实数。 但是纯粹的虚增长只是让你旋转。让我们假设你在 i 方向的增长率是100%：你保持一个恒定的推动，所以最后的效果也就是旋转而已。 1 秒之后你在90度方向（i），2秒后，你在180度方向（i² ＝-1），这样不断进行。虚增长不进行复合！如果你的增长率是一个较大的虚数（2i），你可以认为这个增长需要两倍长的时间（还记得e把时间与增长率合并到一起吗？）。但是它还是在一个垂直的方向进行推动，而这不会改变你的速度。 现在，如果你的增长率是个复数（a+bi），那么实数部分就像常规增长一样表示你是增长还是缩小，而虚数部分表示把你旋转多少度。但是欧拉公式（正如它的形式一样）是关于纯粹的虚增长（e^ix）的。我们接下来的讨论会更复杂一些。
11.5 追本溯源
让我们再深入一点。回顾一下e的这个定义：
1/n表示在我们的周期内赚到的利润。我们假设利润是实的——但是如果它是虚的呢？
虽然原本的利润有所偏离（90 度），但长度仍保持不变。（这是一个难以理解的概念，因为它就像在一个较长的斜边下构造一个三角形。我们在处理极限；斜边有微小的无法在我们的误差范围内发现的增加。我们需要微积分来帮助澄清这一点，但我们留待以后再讨论。）
我们将 i 单位的增长无限小地应用于每次迭代。每次应用都会使其沿着 90 度的方向略微偏离。没有所谓的“加速”旋转，因为它始终与增长方向保持垂直，只是以新的方向（仅增加 1 度）推进。我们发现另一种表示圆的方法！
圆周运动：沿 90 度方向持续旋转（虚增长率）
欧拉公式告诉我们“虚增长的幂最终会产生一个圆轨迹”。这个轨迹与用正余弦函数表示的虚数绘制的轨迹相同。这里使用“幂”可能不太恰当，因为我们始终沿着一个圆匀速移动（最好将其称为“连续变化”）。但我们目前主要关注的增长是一个复合的、累积的增长。
11.6 示例
你现在可能不信我。以下是一些示例，可帮助你直观地思考。
示例：e^i
即 e^(i.1)，即 x=1 的情况。直观上，无需计算器我们就知道它表示“沿单位圆前进 1 弧度”：
e^i ＝cos(1)+isin(1)=0.5403+0.8415i
结果不是一个简单的数字，但对于计算器来说是没有问题的。输入这些内容时，记得将计算器调整为弧度模式。
示例：3^i
这需要一些技巧——这不是我们通常看到的形式。但请记住，
——真正的问题是“我们如何将 1 转换为？”我们希望最终增长率为 3 倍或瞬时增长率为 ln(3) 的增长，下面的变形利用 e 变成：
我们原本认为我们仅需要转换为 ln(3) 即可（ln(3)≈1.09861...，所以比 100% 快一点）。哦，i 让我们不知所措：现在我们将其转换为虚增长，这意味着我们在旋转。如果 i 是一个常规数字，比如 4，我们就会得到一个增长 4 倍，而现在我们增长的速度是 ln(3)。我们应该能够想到一个单位圆上的复数——不会改变我们的大小。求解此方程：
示例：i^i
之前看到这个家伙会直接吓跑我，而且眼中还带着绝望的泪水。但是现在我们可以对其进行一些转换：i^i ＝1·i^i 。我们从 1 开始变化。就像解决 3i 那样，以 i 为底时现在的瞬时增长率是多少呢？呃，我们通常会使用 ln(x) 来得到最终达到 x 的瞬时增长率。但是对于虚增长率呢？我们需要做一些改变。为了从 1 变成 i，我们需要旋转。转多快呢？好吧，我们需要在一单位时间内转过 90 度角（π/2 弧度）。所以我们的增长率就是(π/2)·i（记住我们是要旋转，所以必须乘以一个虚增长率）。
这样就能说得通了：在一单位时间内，把 1 变成 i，我们应该旋转
取消 i 后，增长率重新变回一个实数。我们把增长率转成了一个 负值。这意味着我们正在 缩小——我们本该想到 i^i 的作用就是让事物变小。
事实确实如此（在 Google 中搜索“i^i”来利用其计算功能）。稍稍喘口气：你应该可以直观地了解到，虚指数与虚数底的行为是怎样的。
示例：（i^i)^i
想要一个更进一步的示例吗？如果你坚持的话，首先我们要找出括号内的增长率是多少：
我们得到了一个 负π/2 增长（缩小）。现在我们用 i 来修改它：
我们得到了一个 负旋转！每单位时间我们将以 π/2 的速度进行旋转。转多长时间呢？其中暗示了 1 个单位时间；一个单位时间的旋转就是 -i：
i^i = 0.2078……
(i^i) = -i
而且，看看整个过程，如果我们给它平方一下的话：
((i^i)^i )2 = -1
这就好比是两倍的旋转：2 是一个实数，所以它让我们的旋转翻倍到 -180 度。或者也可以说它做了两次 -90 度的旋转。 最后得瑟一下，它们确实都是些奇怪的指数，但是通过类比我们可以很轻松地把它们搞定。
11.7 混合增长
我们可以既有实数增长也有虚数增长：实数增长改变大小，虚数增长进行旋转：
一个复数增长率（a + bi）就是混合了实数增长与虚数增长。实数部分就表示“每秒增长 100%”而虚数增长就是“旋转 b 秒”。记住，虚数并不能把不同的方向复合，所以它只是线性相加。 根据这个想法，我们可以把任何点用不同大小的圆（a + bi）表示出来！半径就是 e^a 而角度由 e^ib 决定。这就像把数字放到“创世界”中两次：一次你让它的大小发生变化（一秒），另一次就是让它的角度旋转（b 秒）。或者你可以先旋转再增长！ 我们想知道得到 6 + 8i 的最终倍数所需要的增长数。这就是在问一个复数的自然对数：我们如何把 e 变为 6 + 8i？
半径：我们需要一个多大的圆？大小是 √(6² + 8²) = 10。这就意味着需要花 ln(10) = 2.3 秒的时间来达到这个数值
旋转的角度：那个点的角度是多少？我们可以使用反三角函数来计算：arc tan(8/6) = 53 度＝
通过欧拉公式，我们能够在直角坐标和极坐标之间进行转换。欧拉公式使用的是纯量和角函数，将复数和三角函数联系起来。
以下示例演示了直角坐标和极坐标之间的转换：
直角坐标：向东 3 个单位，向北 4 个单位
极坐标：距离 5 个单位，角度 71.56 度
欧拉公式允许我们在直角坐标系和极坐标系之间进行无缝转换。转换的便利性取决于问题的类型，使得欧拉公式成为数学中最有用的公式之一。
欧拉公式将 eix 转换为正弦和余弦函数，进一步证明了它的优雅和重要性。（完）