这是学习笔记的第 2161 篇文章
学生时代，我们忙于应试，将许多“为什么”抛之脑后。面对未知，我们往往选择默认接受，例如，你真的理解√2吗？
你是否思考过：√2为什么是无理数？我们如何计算它？
或许大多数人的反应是：“1+1开根号就是啊，至于为什么，规定就是这样呗！”诚然，√作为一种符号的确如此，但这远非问题的全部答案。
追根溯源，这个问题比我们想象的更复杂，它可以追溯到古希腊时期。
公元前500年，古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）提出“万物皆为数”（指有理数）的观点。他的学生希伯索斯（Hippasus）却发现一个令人震惊的事实：正方形的对角线与其一边的长度之比无法用有理数表示，这与毕氏学派的理念背道而驰。 这一发现令学派恐慌，希伯索斯最终被残忍地杀害。
要计算√2的值，我们可以将其拆解为两个问题：
1）如何证明√2是无理数？
2）如何计算√2的无理数值？
让我们带着求知欲，一起探索√2为什么是无理数。
方法一：尾数证明法：
假设√2是有理数，则可以表示为a/b的形式，其中a和b都是正整数，且a、b互质（最大公因数为1）。
步骤一：√2=a/b，则a²=2b²
步骤二：根据平方数的性质，b²的尾数只能是0、1、4、5、6、9，不可能是2、3、7、8。
步骤三：2b²的尾数只能是0、2、8。
步骤四：由于a²=2b²，所以a²的尾数也只能是0，而不能是2或8。
步骤五：因为2b²一定是偶数，所以b²的尾数只能是0或5。
步骤六：根据上述推导，a和b都存在公因数5，这与a、b互质的假设矛盾。
√2是无理数。
方法二：奇偶分析法
假设√2=a/b，则a²=2b²，其中a和b都是正整数，且a、b互质。
1）由2b²可知，a²是偶数，因此a也是偶数，可以设a=2c。
2）将a=2c代入a²=2b²，得到4c²=2b²，化简得b²=2c²，因此b²也是偶数，b也是偶数。
3）a和b都是偶数，这与a、b互质的假设矛盾。
√2是无理数。值得一提的是，希帕索斯正是用这种方法证明√2的无理性。
除了上述两种方法，还有其他方法可以证明√2是无理数，本文不再一一列举。
接下来，我们探讨如何计算√2的值。以下几种方法较为易懂：
方法一：连分数法
我们知道(√2+1)(√2-1)=1，以此为基础进行推导。
√2-1=1/(√2+1)
√2 = 1+ 1/(√2+1)，将√2代入等式右侧，得到
√2 = 1+ 1/(1+ 1/(√2+1)+1) = 1+ 1/(2+ 1/(√2+1))
继续推导：
√2=1+ 1/(2+ 1/(√2+1)) = 1+ 1/(2+ 1/(1+ 1/(√2+1)+1)) = 1+ 1/(2+ 1/(2+ 1/(√2+1)))
这种方法称为连分数法，通过不断迭代可以得到越来越精确的√2值。
方法二：迭代法
√2显然大于1，可以设√2 = y = 1+x
将上式平方，得到
2 = (1+x)(1+x)
展开得到
2 = 1 + x² + 2x + 1
化简得
x² + 2x = 0
进一步推导，得
x(x + 2) = 0
所以
x = 1/(x + 2)
因此
1/x = 2 + x = 2 + 1/(2x) = 2 + 1/(2 1/(x + 2))
= 2 + 1/(2 1/(1/(x + 2) + 2))
通过不断迭代，可以得到越来越精确的√2值。
计算机如何计算√2？
除了上述方法，还有许多更高级的方法可以计算√2，例如牛顿迭代法、二分法等。
在计算机领域，有一种神奇的算法可以快速计算√2，其名为“0x5f375a86”。这个算法看起来像一个内存地址，据传比牛顿迭代法快4倍。其核心代码如下：
i = 0x5f375a86 - (i>>1);
至今，人们仍未完全理解这个常数的由来。值得一提的是，这个常数最初是0x5f3759df，后来Lomont通过暴力穷举找到了更优值0x5f375a86。Lomont将他的发现写成论文《Fast Inverse Square Root》。