平行与垂直：几何学习中的重要概念
一、 知识点概览
平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行的表示：用符号 "∥" 表示，读作 "平行于"。
同一平面内两条直线的位置关系：平行或相交。
平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
平行的传递性：平行于同一直线的两直线平行。
平行与角的联系：若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
垂直定义：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直。
垂直的表示：用符号 "⊥" 表示，读作 "垂直于"。
垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
垂直与角的联系：若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补。
二、典型例题
例 1：概念辨析
(1)两条不相交的直线叫做平行线 ( 错误：必须在同一平面内 )
(2)两条直线不相交就平行 ( 错误：必须在同一平面内 )
(3)两条射线或线段平行，是指它们所在的直线平行 ( 正确 )
(4)在同一平面内不相交的两条线段必平行 ( 错误：如平行四边形中的两条对边 )
(5)经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 ( 错误：必须是直线外一点 )
(6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 ( 正确 )
(7)点 A 为直线 l 外一点，点 B 在直线 l 上，若 AB = 5 厘米，则点 A 到直线 l 的距离为 5cm ( 错误：点 A 到直线 l 的距离为垂线段长度，不一定等于 AB )
例 2：平面内三条直线的位置关系
平面内三条直线的位置关系可以有以下几种情况：
例 3：平行与垂直的角关系
(1)如图，P 是∠AOB 外一点，过点 P 画直线 PC ∥ OA，交 OB 于点 C，过点 P 画直线 PD ∥ OB，交 OA 反向延长线于点 D，量出∠AOB、∠CPD 的度数，你有什么发现？
发现：∠AOB 和 ∠CPD 相等或互补。 当点 P 在 ∠AOB 内部时，∠AOB 和 ∠CPD 互补。当点 P 在 ∠AOB 外部时，∠AOB 和 ∠CPD 相等。
(2)如图，P 是∠AOB 外一点，过点 P 画直线 PC ⊥ OA，交 OA 于点 C，过点 P 画直线 PD ⊥ OB，交 OB 于点 D，量出∠AOB、∠CPD 的度数，你有什么发现？
发现：∠AOB 和 ∠CPD 相等或互补。 当点 P 在 ∠AOB 内部时，∠AOB 和 ∠CPD 互补。当点 P 在 ∠AOB 外部时，∠AOB 和 ∠CPD 相等。
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一、平行线与角
观察下列图形，发现：
当点P在∠AOB的外部时，∠AOB +∠CPD =180°。
当点P在∠AOB的内部时，∠AOB =∠CPD。
结论: 若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补。
二、垂直线与角
观察下列图形，发现：
当点P在∠AOB的外部时，∠AOB =∠CPD。
当点P在∠AOB的内部时，∠AOB +∠CPD =180°。
结论: 若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补。
三、思维提升
例1: 网格作图
(1) 利用图(1)中的网格，利用直尺过点P画直线AB的平行线和垂线。
(2) 把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形。
(3) 如果每个方格的边长是单位1，那么图(2)中组成的三角形的面积等于______。
分析:
网格作图是今后的重点内容，我们应该引起足够的重视。
(1) 对于作平行线，有2种方法：第一种是观察线段AB是横2竖4的长方形对角线，那么，过要画的点P，也应该是构造横2竖4的长方形对角线。第二种是采用平移的方法，从点A平移到点P，需要向右4格再向下1格，那么点B也要同样平移，然后将线段两端延长，变成直线。
对于作垂直线，则和平行线相反，过点P需要构造横4竖2的长方形对角线。
(2) 我们可以保持EF不动，将AB，CD平移，注意，有2种情况。
(3) 对于网格图形的面积，我们通常可以采用割补法，割，把大图形分成几个小图形，计算面积和，补，把大图形再补成一个更大的，可直接计算面积的图形，减去周围几个小图形的面积和。本题适合用补的方法。
解答:
例2: 垂线段再认识
如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点。过点P画OB的垂线，交OA于点C；过点P画OA的垂线，垂足为H；
(1) 请找出图中所有的垂线段，并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离。
(2) 线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______。（用“＜”号连接）
分析:
要找垂线段，首先要找出所有的垂足，因为垂线段是直线外一点到垂足的距离。这里的垂足显然只有P，H，那么点O，点C，可以和点P，点H组成垂线段。
要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离，那么必然选择的是垂线段的两个端点中，不是垂足的那个点，到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离。
解答:
(1) OP，OP的长度是点O到直线PC的距离。
CP，CP的长度是点C到直线OB的距离。
OH，OH的长度是点O到直线PH的距离。
CH，CH的长度是点C到直线PH的距离。
PH，PH的长度是点P到直线OC的距离。
(2) PH＜PC＜OC．
例3: 思考类作图
同一平面内已知线段AB长为10cm，点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm，符合条件的直线l有_______条?
分析:
显然，同学们都能想到作线段AB的垂线，将线段AB分成6cm，4cm两部分。但其实，在线段AB的两侧还有两条，分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆，当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时，也符合题意，这样的直线有两条，即共有3条。
到了初三，我们会知道，这三条线就是所画的两个圆的切线。
解答:
符合条件的直线l有3条。
上图展示了三条红色的直线，它们是问题的解.
变式
假设有两条直线l1和l2在平面内相交于点O. 对于平面内的任意一点M, 设p和q分别是点M到直线l1和l2的距离，那么我们可以用(p, q) 来表示点M的“距离坐标”. 依据这个定义，有多少个点拥有“距离坐标” (2, 1) 呢？
分析:
我们可以先找到满足条件的直线，再确定点. 找到到l1距离为2的直线，以及到l2距离为1的直线. 它们的交点就满足题目要求.
画图后我们会发现，到l1距离为2的直线有两条，到l2距离为1的直线也有两条. 这四条直线两两相交，共有四个交点. 这四个交点就是“距离坐标” 为(2, 1) 的点.
解答:
如图所示，两条蓝色的直线到l1的距离为2，两条红色的直线到l2的距离为1. 这四条直线的交点就是问题的解.