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圆形简单、对称、精致。但如何度量它呢？问题本质在于如何度量弯曲形状。
关于圆形，首先要了解的是，圆上任意一点到圆心的距离都相等。这正是圆的定义。这个距离被称为半径。由于所有圆形形状相同，只有半径可以区分不同圆。圆的周长被称为圆周（circumference，拉丁语“随身携带”的意思）。对于圆来说，最自然的度量就是它的面积和圆周。
让我们从近似开始。在圆上等距放置一些点，将这些点连接起来，形成一个正多边形。
这个正多边形的面績和周长比圆的相应值小，但两者近似。增加点的数量，则两者的值会更加接近。假设使用大量的点，比如n个。这时，我们得到一个正n边形，其面积和周长非常接近圆的真实面积和周长。关键在于，随着正n边形边数的增加，它会越来越接近圆。那么，这个正多边形的面积是多少呢？将它分割成n个相同的三角形。
每个三角形的底边长度等于正多边形的边长，记为s。三角形的高度是从圆心到正多边形边的距离，记为 h。每个三角形的面积为1/2hs，而正多边形的面积为1/2hsn。注意到 sn正好是正多边形的周长，所以我们可以得到以下等式：
其中，p是正多边形的周长。这样，我们用周长和圆心到边长的距离精确地表示了正多边形的面积。
当边数n无限增大时，会发生什么？显然，正多边形的周长p会越来越接近圆的周长C，而高度h会越来越接近圆的半径r。这意味着正多边形的面积必然会逼近1/2rC，同时正多边形的面积也一直在逼近圆的真实面积A。唯一的结论是这两个数值必然相等，即
这表明圆的面积刚好等于半径与圆周乘积的一半。
思考这个结论的一个好方法是，想象将圆周展开成一条直线，这条直线和圆的半径正好形成一个直角三角形。
我们得到的公式表明，圆形所占据的面积刚好等于这个直角三角形的面积。
这里有一个非常重要的点。仅仅通过近似，我们就意外地得到了圆面积的精确表示。关键在于，我们不是做几个高精度的近似，而是做了无穷多个近似。我们构造了一个精度越来越高的无穷近似序列，这些无穷多个近似让我们看到了其中的模式并得到了它们的极限。换句话说，我们可以从具有模式的无穷近似序列中推断真理。将这种方法视为人类最伟大的思想之一是有道理的。
这种奇妙的方法通常被称为穷竭法，由古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，柏拉图的学生）在公元前370年左右发明。它让我们可以通过构造无穷的直线近似序列来度量弯曲的形状。使用穷竭法构造无穷近似序列的诀窍在于，所构造的无穷序列必须具有某种模式——一个无穷的随机数序列不会告诉我们任何有价值的信息。仅仅有一个无穷序列是不够的，我们还需要能够发现其中的模式来理解这个序列。
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现在，我们用圆周来表示圆的面积。但圆周是否可以度量呢？对于正方形来说，用边长比例来度量周长是很自然的，即四周长度与一条边长的比值。同样，对于圆形，我们也可以采用这种方法。通过圆心与圆两个交点之间的直线距离（显然，直径是半径的两倍），被称为直径。对于圆来说，类似的度量将是圆周与直径的比值，即圆周率。由于所有圆形形状相同，
对于每一个圆来说，这个比值都是相等的。通常，我们使用希腊字母pi或π来表示这个比值。π对于圆的意义就如同4对于正方形的意义一样。
对π的值进行近似并不困难。例如，假设我们在圆形中放入一个内接正六边形。
圆周率π：一个超越的故事
想象一个正六边形，它的周长恰好等于一个圆直径的三倍。由于圆的周长略大于此六边形的周长，我们可以推断出圆周率π的值略大于3。使用边数更多的正多边形，我们就能得到更精确的π的近似值。例如，阿基米德（约公元前250年）使用正96边形，得出π≈22/7。要注意的是，这并非一个严格的等式，π的真实值略小于此。更精确的近似值是π≈3.1416，而由五世纪中国数学家祖冲之提出的π≈355/113则更为精确。
π的确切值是多少呢？令人遗憾的是，我们无法用有限的数字表达它。π是一个无理数（这一性质由兰伯特于1768年证明），这意味着它不能表示为两个整数的比值。我们不可能在一个统一的度量单位下，同时用整数来表示圆的直径和周长。
π的无理性比√2更甚。虽然√2也是无理数，但它至少可以被定义为“平方等于2的数”。换句话说，√2可以用整数算术表达为满足x²=2的数x。我们不知道√2的精确值，但我们了解它的性质。
而π则不同，它不仅不能用分数表示，甚至无法满足任何代数关系。除了表示圆周率，π似乎没有其他作用。它就是π，一个超越数（transcendental，源于拉丁语“超出”）。超越数（它们的数量是无限的）超越了代数所能表达的范围。1882年，林德曼证明了π是一个超越数。令人惊叹的是，我们竟然能够认识到超越数的存在。
尽管如此，数学家们仍然发现了π的多种表达方式。例如，莱布尼茨在1674年发现了以下公式：
这个公式的精妙之处在于，随着右侧项数的增加，其总和将越来越接近π。π可以表示为无限项的和。这个公式不仅为我们提供了π的数值表示，更蕴含着深刻的哲学意义。更重要的是，这样的表示已经是我们所能做到的极致了。
这就是π的故事。它是圆周与直径的比值，一个我们无法完全掌控的数字。我们所能做的，就是将它纳入我们的语言体系，并不断探索它的奥秘。
特别地，对于半径为1的圆，其直径为2，周长为2π。其面积等于半径与圆周乘积的一半，即π。将此圆按比例r放大，我们便得到了半径为r的圆，其周长和面积可分别用以下公式计算：
C=2πr
A=πr²
值得注意的是，第一个公式本质上只是π定义的另一种表述。而第二个公式则更具深度，它等价于我们在前文中得出的结论：圆的面积等于其半径与圆周乘积的一半。