正态分布概率 高二数学正态分布笔记

正态分布：透过现象看本质
一、正态分布的本质含义
谈到正态分布，需要注意的是，本文对数学知识的阐释旨在帮助大家理解其背后的含义。只有深刻把握其本质，才能真正洞悉其规律。否则，停留于表面的理解，遇到变化或陌生的题型，容易陷入迷茫，无法灵活运用。
二、正态分布的数学表达
此前介绍的二项分布和几何分布都是限定了离散值总量 n 的，换言之，即限制了试验的总次数。而正态分布则相反，它没有限定总试验次数，因此其 n 可以是无限大的。如果一个变量 x 满足以下函数关系，则称 x 符合正态分布，记为：
上述函数经标准化后称为标准正态分布，记为：
正态分布的曲线图为：
[图片：正态分布概率曲线]
注意：
1. 正态分布图的 y 坐标值表示概率密度，而非概率。而正态分布曲线下的阴影面积是 x 取值范围 -1 至 1 内的总概率。切勿将正态分布图的 y 值误以为是 x 值对应的概率值。
2. 正态分布的均值（即 μ）的概率密度最大，以均值为中心，左右两边的概率密度是对称的。正态分布的均值、中位数和众数都是相同的。
3. 由于正态分布函数是关于概率密度的函数，因此求某个 x 值对应的概率是没有意义的，只能求某个 x 值范围的概率。而某个 x 值范围的概率等于 f(x) 对该范围进行定积分。
三、正态分布的标准转换
标准正态分布的概率分布表如下：
[图片：标准正态分布概率分布表]
需要注意，表中某个 x 值对应的概率实际上表示x 值小于或等于该值的范围的累积概率，而非 x 值对应的概率。例如，表中 x = 1.0 的概率值是 0.8413，其含义是 x ≤ 1 的范围的累积概率值，即图中红色阴影部分的面积。用公式表示为：
对于非标准正态分布，可以通过以下公式进行标准转换（也称 Z 转换）：
对于非标准正态分布的概率计算，应明确公式的含义，并能快速将求某个 x 值范围的概率转化为求某个 z 值范围的概率。这样便可以通过查阅标准正态分布概率表获得对应的概率值。
四、正态分布与二项分布
在上一篇文章中提到，当 n 值较大时，求大于某个 x 值范围的概率会涉及大量 x 值概率的计算。事实上，对于 n 值较大的二项分布，它非常接近正态分布，可以采用正态分布概率公式来计算二项分布的范围概率，满足条件为：
也就是说，当二项分布的 n 值足够大，使得上述公式成立时，可以使用正态分布概率公式计算二项分布的范围概率。其计算公式如下：
当，则
需要指出的是，计算 Z 值公式中 x 的取值需要在 a 的基础上加或减 0.5，具体是加还是减取决于计算的概率是否包含 a 值。如果包含 a 值，则取 a + 0.5；如果不包含 a 值，则取 a - 0.5。利用正态分布的对称性，可推导出：
当 P(x = a) 为不含 a 的概率时，计算 Z 值时，x 取 a - 0.5
当 P(x > a) 或 P(x <= a) 为含 a 的概率时，计算 Z 值时，x 取 a + 0.5
通过上述公式计算出 Z 值后，再查阅标准正态分布概率表，即可获得对应的概率值。
五、对立面思维
在计算二项分布、几何分布和正态分布概率时，应熟练运用对立面思维，寻找更简便的计算方式。由于这些概率分布都遵循总概率为 1 的原则，因此当要求某个条件的概率计算较复杂时，可考虑从其对立面计算概率。根据总概率为 1 的原则，正面计算复杂，反面计算往往较为简单。举几个例子：
正态分布中，要求 P(x = a)，因此可通过 P(x >= a) 求得想要的概率值。
二项分布中，n = 15，要求 P(x > 3)，其对立面为 P(x ≤ 3)，即 P(x ≤ 3)。
在面对概率问题时，灵活运用对立面思维，解题思路往往会变得更加清晰简洁。