这篇文章源于我初三数学竞赛课的讲义。虽然课题是关于四点共圆，但从中延伸出许多三角形的奇妙性质，让我深刻体会到数学之美。我将这些精彩内容整理成文，献给所有正在学习的读者，以及那些已离开高中数学的 80 后。无论您是否热爱数学，我相信这些奇妙的结论都会令您惊叹。
三角形的奇迹首先体现在它的“心”上：三角形内部，每组具有一定几何意义的直线都交于一点。比如，三条角平分线交于一点，称为三角形的“内心”，它是内切圆的圆心。三边的中垂线交于一点，称为三角形的“外心”，它是外接圆的圆心。三角形的三条中线也交于一点，称为三角形的“重心”，它确实是三角形的重心。用力的方法可以很快推算出，它位于各中线的三等分点处。这些“心”将在后面的内容中再次出现，并带来意想不到的惊喜。
三角形的三条高线也不例外——它们也交于一点，称为三角形的“垂心”。
垂心看似普通，但深入研究后，就会发现许多奇妙的结论。由于两个斜边重合的直角三角形会产生共圆的四点，因此在三角形中画出三条高线后，就会出现大量四点共圆的情况，由此可以挖掘出一系列漂亮的结论。下面我们就先来看一个简单直接的结论：
定理：若 D、E、F 分别是△ABC 三边的高线的垂足，则∠1 = ∠2。
证明：由于∠AFC = ∠ADC = 90°，因此 A、C、D、F 四点共圆，所以∠1 = 180° – ∠CDF = ∠A。同理，由 A、B、D、E 四点共圆可知∠2 = ∠A。因此∠1 = ∠2。
如果我们把三边垂足构成的三角形称为“垂足三角形”，就会得到以下这个听上去很酷的推论：
推论：三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
证明：因为 AD 垂直于 BC，而前面已经证明了∠1 = ∠2，因此∠3 = ∠4，即 HD 平分∠EDF。类似地，HE、HF 都是△DEF 的内角平分线，所以 H 是△DEF 的内心。
另一个有趣的推论如下：
推论：将△ABC 沿 AC 翻折到△AB’C，假设 EF 翻折到了 EF’ ，则 EF’ 和 DE 共线。
证明：这可以直接从上面的图中推导出∠1 = ∠2。
1775 年，Fagnano 提出了一个问题：在给定的锐角三角形 ABC 中，什么样的内接三角形具有最短的周长？这个问题被称为“Fagnano 问题”。Fagnano 自己给出了答案：周长最短的内接三角形就是垂足三角形。下面我们就来证明这个结论。
定理：在△ABC 的所有内接三角形中，垂足三角形△DEF 拥有最短的周长。
证明：如图所示，将三角形翻折五次，得到折线段 DEF1D2E2F3D4。这条折线段的总长度等于内接三角形 DEF 周长的两倍。注意到，由前面提到的垂足三角形性质可知，这条折线段正好组成了一条直线段。注意到如此翻折之后，BC 和 B2C2是平行且相等的，而且 D 和 D4 位于两线段上相同的位置，所以从 D 到 D4 的折线段总长以直线段 DD4 最短。这说明了，垂足三角形△DEF 拥有最短的周长。
这还不够震撼，垂心还有很多其他的特性。四点共圆还会给我们带来其他的等角关系。
定理：若 D、E、F 分别是△ABC 三边的高线的垂足，则∠1 = ∠2。
证明：由于∠BFH = ∠BDH = 90°，因此 B、F、H、D 四点共圆，所以∠1 = 180° – ∠FHD = ∠2。
这将给我们带来一个非常漂亮的推论。
推论：把△ABC 的垂心 H 沿 BC 边翻折到 H’ ，则 H’ 在△ABC 的外接圆上。
