函数的单调性
定义:
如果函数 f(x) 在区间 D 上始终保持递增或始终保持递减，那么就说函数 f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x) 的单调区间。
常见的单调性判断方法:
1. 定义法:
根据增函数、减函数的定义，按照“设值→作差→化简转化→判断符号→下结论”进行判断。
2. 等价结论法:
利用单调性的等价结论进行判断，如下所示：
3. 图像法:
画出函数的草图，根据图像的升降情况来判断。
4. 直接法:
直接得到一次函数、二次函数、反比例函数、“对勾函数”等的单调性。
5. 复合函数法:
复合函数 f(g(x)) 的单调性判定依据：
举例:
例1: 判断函数 f(x) = x² - 6x + 8 在定义域上的单调区间。
注：可以先画出 y = x² - 6x + 8 的图像，再把 x 轴下方的图像沿 x 轴翻折到上方，再判断单调区间。
例2: 判断函数 f(x) = √(x² - 1) 的单调区间。
例3: 判断函数 f(x) = ln(x² + 1) 的单调区间。
注: 先求出定义域，再根据复合函数单调性的判定方法来做。
单调性与不等式
常见考点:
1. 求函数值: 通过对 x 和 y 赋值，求 f(a) 的值；
2. 证明单调性: 利用定义法或其他方法证明函数的单调性；
3. 解不等式: 利用函数的单调性，结合特殊赋值，解不等式。
举例:
例1: 设 f(x) = 2x + 1，且 f(a) = 5，求 a 的值。
例2: 证明函数 f(x) = x³ - 3x 在区间 (1, +∞) 上单调递增。
例3: 已知函数 f(x) = x² - 2x + 3 在区间 [1, 2] 上单调递增，求不等式 f(x) > 2 的解集。
例4: 设函数 f(x) = (x - 1)² + 2，且 f(a) < f(b)，求 a 和 b 的大小关系。
总结: 函数的单调性是函数的重要性质之一，它与不等式有着密切的关系。掌握判断单调性的方法和运用单调性解不等式是高中数学的重要内容。
求参数的取值范围
我们可以使用两种方法来求解参数的取值范围：
- 利用单调性的定义，在单调区间内任取两个不同的值 x1 和 x2，且 x1 < x2，判断 f(x1) - f(x2) 的符号是否恒成立（大于 0 或小于 0）。通过这个判断可以确定参数的取值范围。
- 利用具体函数本身的特征，例如二次函数图像的开口方向和对称轴，讨论所给区间与对称轴的位置关系，建立含参数的不等式或不等式组。
