π是怎么被发现的？我们又是怎么知道它近似于3.14...的呢？
π的使用时间早于历史记录，所以我们无法确定它是如何被发现的。但我们可以从历史记载中推测，π最初的应用并不复杂。
π是圆周长与直径之比，它与所有与圆相关的概念都有关系。
测量任何一个圆的周长和直径，然后用周长除以直径，你就可以得到π。
圆的周长与其直径的比例是一个固定值，人们很早就认识到了这一点。但这个值并不完全等于3，需要不断精确计算。要计算出这个无限不循环小数（以3.14159265358979323846264...开头），需要一定数学知识和时间。
大约4000年前，古巴比伦石碑上记载着π=3。这个数值看起来并不精确。
如果你用一根绳子画个圆，再用尺子测量圆的周长，你就会发现π并不等于3。古巴比伦人可能很早就有了米尺，他们建造了许多令人惊叹的建筑，所以他们应该很早就认识到π不等于3。事实上，他们已经计算出25/8=3.125，这个近似值的误差在0.5%以内。对于青铜时代的人来说，这是一个了不起的发现。
π在所有涉及圆的数学问题中无处不在，古代人有无数次机会发现它，所以我们无法确定是哪一次偶然机会让人们真正发现了π。
例如，一个高为h，直径为d的圆桶，它的容量为：
所有证据都表明，π是一个真实存在的数值，我们可以通过测量得到它，但它并不等于3。圆越大，计算出的π的值越精确，但应用越少，就像连续吃一周的寿司自助餐，吃多了会腻。
将π精确到小数点后无穷位数，可以更精确地测量圆的周长和直径之比。例如，π≈3.14可以用来安装自行车轮胎，π≈3.1415可以用来计算一英亩圆形田地的围栏长度，π≈3.1415926535可以用来计算绕地球一周的电缆长度。虽然精确到小数点后10位已经足够，但数学家从未停止过追求更精确的π值。
π的存在不仅提供了实际的测量方法，还为数学提供了数百种应用方法。阿基米德、刘徽以及其他不知名的古埃及人，都曾使用割圆法来计算π的近似值。刘徽将π精确到小数点后四位数，比阿基米德精确得多，真是令人惊叹。
在罗马对锡拉丘兹的围攻中，马塞勒斯将军下令活捉阿基米德，因为他认为知识无国界。不幸的是，阿基米德最终没有把他的几何学知识传授给罗马人。
阿基米德的π值极限：一个关于计算和直觉的有趣故事
要么是阿基米德和历史学家犯了错误，要么是古希腊人对π的近似值比我们知道的要精确。对于给定圆，“内接正多边形”是指其所有顶点都在圆上（位于圆内），而“外切正多边形”是指其所有边都与圆相切（位于圆外）。阿基米德通过计算圆内接和外切正九十六边形的周长来近似π值。
内接正多边形的周长可以得到π值的下限，而外切正多边形的周长可以得到π值的上限。阿基米德不仅找到了正九十六边形的周长，他还发明了一种迭代算法，通过已知n边形的周长来计算2n边形的周长。他从正六边形（六个角）开始，然后推导出12角、24角、48角，最终到达96角。这个数字并不十分精确，但阿基米德可能认为他已经解决了问题，因为任何人都可以按照他的方法找到更多精确的π值，然后继续研究其他重要的事情，例如发明热射线来保卫锡拉库扎（当时的富人们甚至想要制造太阳热射线来防御）。
每次使用阿基米德的迭代算法，π值的精度都会提高大约4倍（收敛速度为1/4）。这并不像听起来那么令人兴奋，因为每5次迭代才能增加大约3位小数。阿基米德从六边形到96边形只计算了4次，最终将π精确到小数点后3位。如果他再努力一点，重复这个过程（比如再进行10次迭代），他就能将π精确到小数点后9位。虽然这没什么用，但这足以吹嘘一番。
与现代计算方法得到的精确值相比，这些古人的近似值不再令人感到自豪。阿基米德使用的是线性收敛方法，每次迭代得到的π位数大致相同。直到我们发明了二次收敛算法，事情才真正有所进展。二次迭代算法可以使已知π位数的数量翻倍。这意味着：如果你将π精确到十位数，那么在下一次迭代后，你将得到π的二十位数。今天最快的算法是超线性收敛（每次计算结果的精度比前一步高9倍）。
π定义为圆周长与直径之比，这使得我们可以直接测量圆，但这并不精确，或者我们可以进行精确但毫无意义的计算。 π还有更抽象的属性（例如，它可以无限不循环地扩展下去），但这些属性需要更多方法，而不是简单的数字计算。为了理解这些抽象属性，我们需要关注π的定义，而不是它的值。忽略一个数字，我们可能会得到一个结果，但也可能被轻松推翻。数学在物质世界中确实很有用，但数学并不“生活在这里”。虽然π具有物理意义，但我们主要通过它的数学特性来理解它。
答案很简单：古人非常聪明，如果他们能永生，他们可能会一直算下去，直到算出最终结果。这就是阿基米德算法背后的数学基础。老实说，这不是阿基米德的计算方式。所以很明显，古希腊数学家受到了一种错误理念的影响：精炼的词汇蕴含着深刻的含义。即使翻译过来，他们的文本仍然像希腊文一样难以理解。
梅德斯先生的方法如下所示：如果In是内接正多边形的周长，而Cn是外切n边形的周长，则：
你可以花巨大的努力，用大量的方程式来证明，当边数增加时，多边形的周长将无限接近π（圆的周长），或者你可以直接画一个图说“看，这是真的”。
首先画一个圆，它有内接和外切n角（蓝色）和2n角（红色）的正多边形。正多边形每段的长度是总周长除以段数（所以所有段都除以n）。
如果你将6个等边三角形粘在一起，你就会得到一个正六边形，还有一点三角形。你会发现，如果你的圆的直径为1，内接正六边形的周长为I6 = 3，而外切正六边形的周长为C6 = 2√3 ≈ 3.46。
为了算出正十二边形的周长，将C6和I6代入迭代方程式：
这个周长比之前任何一个结果都更接近π，并且由于对于所有n，I_n < π < C_n，因此我们可以找到π的范围越来越小。以下是其工作原理：
在圆上画内接或外切正多边形会形成某种对称性。我们可以通过画一些三角形来快速地找出它们的各个角度。
也就是算出内接正多边形的一条边或外切正多边形的一角。内接正多边形内部的边长可以通过2n角正多边形推导出。红色的阴影三角形都相似（因为它们有相同的角度），蓝色的三角形也都相似。
一个完整的圆为360°，因此正多边形的每条边跨度为360°/n度。那么∠a就是这些角度的一半，所以∠a = 180°/n。
由于三角形内角和为180°，所以两个∠b之和与∠a互补（两个∠b之和为90°），第三个角度为90°（以直径为斜边的圆内切三角形对角为90°）。∠b = 90°-180°/n。
∠c和∠b互补，所以∠c = ∠a = 180°/n。
∠c + ∠d = 180°，所以∠d = 180°-∠c = 180°-180°/n。
三角形内角和为180°，所以∠d + ∠e + ∠e = 180°，∠e = 90°-∠d/2 = 90°/n。
∠b + ∠e + ∠f = 90°，所以∠f = 90°-∠b-∠e = 90°/n。
由于∠f = ∠e，因此两个红色三角形具有相同的角度，这意味着它们是相似三角形。类似地，由于∠c = ∠a，两个蓝色三角形也相似。相似三角形的对应边成比例。
接下来，我们将根据边长比例计算圆周率π。
利用蓝色三角形的相似性，我们可以得到以下比例：
类似地，红色三角形的相似性可以得到以下比例：
通过以上步骤，我们可以利用已知的几何图形和圆周率的定义，通过复杂计算得到一个无限接近于π的数值。
乘法和长除法相对简单，可以用手工计算。对于古人而言，迭代算法中最复杂的部分在于求平方根，以及制作计算所需的草稿纸。庆幸的是，古人也有应对的方法，例如求S的平方根，可以假设一个x，然后计算：
结果将比您最初假设的x更接近以下数值：
这种方法被称为“巴比伦方法”，通过二次收敛，可以迅速达到所需的精度。
我们可以通过运用理性思维，投入大量的计算时间，最终得到足够精度的圆周率π值。
作者: The Physicist
FY: 加盐牛轧糖
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