线性回归是一种统计分析方法，用于确定两种或多种变量之间的定量关系。它在变量之间相关关系研究中扮演着重要角色，考查学生对于概率、统计、数据处理以及运算能力的掌握程度。线性回归在实际应用中非常广泛，难度适中。
线性回归方程
线性回归方程是一种数学公式，用于表达两个变量之间线性关系。以下是线性回归方程的一般形式：
回归分析
回归分析是一种数学方法，用于处理变量之间的相关关系。它的主要用途包括：
- 确定特定量之间是否存在相关关系，并寻找它们之间最贴近的数学表达式。
- 根据一组观察值，预测变量的取值并判断变量取值的变化趋势。
- 求取线性回归方程。
线性回归方程的求解
例1
问题：
解答：
线性回归方程的应用
例2
问题：
解答：
例3
问题：
解答：
例4
问题：
解答：
例5
问题：
解答：
例6
问题：
解答：
推导两个样本点的线性回归方程
例7
问题：设有两个点A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推导其线性回归方程并进行分析。
解释：将以上内容整理成更易于理解的格式，并去除了重复出现的图片和文字，使内容更加简洁明了。将内容组织成更清晰的结构，便于用户阅读和理解。
解： 根据最小二乘法，我们设回归直线方程为
，其中 a 和 b 是待定系数。样本点到该直线的距离之和可以表示为
为了使样本点到回归直线的距离之和最小，我们需要找到 a 和 b 的值，使得上述距离之和的平方最小化。为此，我们对距离之和的平方进行求导，并令导数为 0，得到：
将
代入距离之和计算式，并将其视为关于 b 的二次函数。运用配方法，我们可以得到：
回归直线方程为：
设样本点 A 和 B 的中点为 M，则
。上述线性回归方程可以写成：
可见，由两个样本点推导的线性回归方程恰好是过这两个样本点的直线方程。这与我们的直观认识一致：对于两个样本点，最好的拟合直线就是过这两个点的直线。
我们上面是直接对有2个样本点的线性回归方程进行推导，分别对关于 a 和 b 的二次函数进行分析，并应用配方法求解最值及其条件。事实上，根据线性回归系数计算公式：
可以得到线性回归方程为：
设样本点 A 和 B 的中点为 M，则
，上述线性回归方程可以写成：
。
求回归直线方程
例8 在硝酸钠的溶解试验中，测得在不同温度
下，溶解于100份水中的硝酸钠份数
的数据如下：
描出散点图并求其回归直线方程.
解：建立坐标系，绘出散点图如下：
观察散点图，我们发现两组数据呈现线性相关性。假设回归直线方程为：
根据回归系数计算公式：
我们可以得出 b=0.87，a=67.52，因此回归直线方程为：y=0.87x+67.52。
综合应用
例3：假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y（万元）有如下统计资料：
求解：
（1）求回归直线方程；
（2）估计使用10年时，维修费用约是多少？
解： （1）设回归直线方程为：
（2）将 x = 10 代入回归直线方程可得 y = 12.38，即使用 10 年时的维修费用大约是 12.38 万元。
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