作者：量化研究方法（ID：phdthink）
非线性是自然界复杂现象的典型特征。以下是一些关于非线性知识的简要介绍：
非线性
非线性指的是变量之间的数学关系不是直线而是曲线、曲面或其他不规则形态。与线性相比，非线性更接近于客观事物的真实特性。在量化研究中，非线性关系是一种重要的分析方法。
狭义的非线性是指不成正比或直线的数量关系，无法用线性方程表示。广义的非线性则包括自变量以特殊方式变化产生的非传统映射关系，例如迭代函数中上一次运算的结果作为下一次运算的自变量，无法用常规线性函数描述。
自然界事物的变化规律通常并非简单的线性函数，而是存在复杂的相互作用关系。这种相互作用使得整体不再是部分之和，而是可能出现超出线性叠加的增益或损失。
线性与非线性的区别
非线性是相对于线性而言的。线性是非线性的特殊情况，因此理解非线性概念需要明确线性概念及其否定之处。
1. 线性
线性的定义包括两个方面：叠加原理成立，即方程的两个解叠加后仍然是一个解；物理变量之间的函数关系是直线，变量之间的变化率是恒定的。
2. 非线性
明确了线性的含义后，非线性概念可以定义为：
这两种非线性的表述是等价的。叠加原理不成立会导致变量关系不对称，反之亦然。两种表述在不同的场合和对象下有各自的适用性。
需要注意的是，线性或非线性的判断是基于物理变量的关系，而不是变量的关系。只有物理变量的关系才能成为非线性的判据。
非线性的性质
非线性科学的演进和探索
非线性科学是一个不断发展的领域，它所研究的各种具体科学中的非线性普遍类，有的已经形成（如混沌、分形、孤子），有的正在形成（如自适应性与自涌行为）。随着研究的深入，未来还会有更多的非线性普遍类被发现。由于非线性的性质正在不断被揭示，因此目前还没有一个全面的理解。本文将从三个方面初步探讨非线性科学：
非线性与线性的关系
非线性与线性是一对相互矛盾的概念。一方面，两者可以在一定程度上相互转换。它们存在着本质上的区别。两者可以同时存在于一个系统中，共同决定着系统的性质。
(1) 非线性与线性的密切关联
从数学角度看，一些线性方程可以通过转化为非线性方程求解。同样，一些非线性问题也可以通过数学变换转化为线性方程。例如，KdV 方程等非线性方程可以通过散射反演方法化为可积线性方程，进而求得精确解析解。对于非线性程度较弱的问题，线性逼近方法可以将其转化为若干个线性问题求近似解。这是一种在各个学科中广泛使用且有效的技术。
在某些情况下，解析解并不能提供更多有用的信息，无法深入理解系统的行为。而从非线性表达形式中，可以方便地获得系统的关键性质。例如，考虑方程 d2X/dt2 + X = 0，其解为 X = Acos(t) + Bsin(t)。从这个非线性形式中，我们可以轻松得知它是一个周期函数，满足 cos(t + 2π) = cos(t) 和 sin(t + 2π) = sin(t)。从 cos(t) 和 sin(t) 的解析形式中，很难直接证明其周期性。认为线性方程可以提供解析解，而非线性方程缺乏解析解，进而认为线性理论比非线性理论更有价值是不准确的。这意味着，非线性视角对于某些问题不仅是可能的，有时甚至是必要的。
由此可见，非线性和线性在一定程度上可以相互转换，表明两者之间存在密切联系。
(2) 非线性与线性的本质区别
尽管非线性和线性可以通过数学变换相互转换，在数学上具有一定的关联性，但在同一视角、层次和参照系下，它们本质上是不同的。
在数学中，线性函数是直线，而非线性函数是非直线，包括曲线、折线、不连续线等。线性方程满足叠加原理，而非线性方程不满足叠加原理。线性方程容易求解解析解，而非线性方程通常无法获得解析解。
在物理中，近线性问题（不属于非线性问题范畴）可以用线性逼近方法求出一定精度的解。具体来说，根据问题对精度的要求，逐次求解若干个线性问题，将它们叠加起来，就能得到良好的近似解。对于非线性问题，由于存在小参数发散和收敛缓慢等问题，线性逼近方法将失效。尤其是在高速运动状态、强相互作用和长时间动态行为等非线性显著的情况下，线性方法完全无能为力。线性逼近方法的局限性决定了非线性方法不可替代的地位。在非线性程度较高的场景中，无法用线性方法处理，只能采用非线性方法。线性逼近方法并非总是有效，这不仅是一个方法论问题，更是一个自然观问题。自然界既经历着量变，也存在质变。在质变过程中，自然界会经历跳跃或转折，这是线性理论无法描述的。
(3) 非线性与线性在同一系统中的作用
非线性和线性既有联系，又有区别。它们通常同时存在于一个系统中，决定着系统的不同方面。一个具体的系统通常同时具有线性和非线性特性：