我们日常生活中经常会接触到各种随机现象，比如天气的变化，每天的气温都不尽相同。虽然难以准确预测明天的天气，但这些随机现象中却蕴含了一定的规律性。例如，上海的7月份通常气温在35度左右，而冬季则在5度左右。这里的35和5代表了某种稳定性，除了前面讨论的分布律和概率密度函数，我们还可以用一组数字来描述随机变量的整体特征。这正是我们今天要探讨的随机变量的数字特征，通过研究这些特征，我们能更好地识别随机变量的潜在属性。
首先是数学期望：可以将其理解为平均值，无论是算术平均还是加权平均。它反映了数据的基本面或信号中的低频信息。例如，如果我们考虑夏天的平均气温通常高于冬天的平均气温，或者学术成绩较高的班级的学生状态更好，这些都可以用数学期望来解释。数学期望的计算公式为E(X)=∫x*f(x)dx，其中x为随机变量的取值，f(x)为取值的概率。假如我们投资两个产品，一个的收益是1000元，风险为10%，另一个是1000元，风险为50%，则整个投资组合的期望收益为Z=1000*0.9+1000*0.5。选择不同的投资组合实际上就是在调整每个产品的投入，以期望获得最大的收益。学好概率论对于投资决策至关重要，不过如何准确评估风险则需要专业知识，这不是我们今天讨论的重点。
接下来是方差：这是一个用于研究随机现象的重要数字特征，反映了数据与均值之间的偏离程度。方差越大，数据的分布越无序。例如，如果公司生产的两批尺子标准为1米，其中一批的方差明显大于另一批，说明方差较大的批次质量控制存在问题。方差的数学定义为E{(X-E(X))^2}，有时为了运算的便利，将其改写为E{(X-E(X))^2}。标准差则是方差的平方根。方差具有一些性质，如常数的方差为零，随机变量乘以常数的方差等于常数平方乘以方差，两个变量和的方差等于方差之和加上协方差。方差的这些性质为理解协方差奠定了基础。
相关系数是协方差的标准化形式，定义为协方差除以相应变量的标准差。相关系数有两个主要特性：绝对值不超过1，当且仅当Y能被X线性表示时，相关系数为1；如果Y不能通过X线性表示，相关系数则为0。相关系数在0到1之间的值表示部分相关性。了解这些概念对于掌握二维正态分布的特性非常重要。
图1 二维正态分布概率密度函数
矩的概念包括原点矩和中心矩。原点矩是随机变量X的k次方的数学期望，中心矩是(X-E(X))的k次方的数学期望，而混合矩是X的k次方与Y的l次方的数学期望。数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差则是二阶混合矩。了解这些矩的定义在统计中有实际应用。
协方差矩阵在实际应用中极为重要，特别是在处理高维随机变量时。协方差矩阵是由随机变量的二阶中心矩组成的对称矩阵。二维正态分布的随机变量不仅可以用均值、方差和相关系数来表达，还可以用协方差矩阵来简化计算，便于使用线性代数工具进行处理。
图2 参考教材