中学数学中，三角形的全等问题通常集中在“全等”与“相似”两大方面，这不仅考察了学生的解题能力，还考验他们的思维深度和解决问题的耐心。数姐在这篇文章中详细整理了全等三角形的判定方法、性质及证明技巧，特别是介绍了多种添加辅助线的方法。深入阅读这篇文章，能够帮助你全面掌握三角形全等的各种题型。
一、全等三角形的判定
1. 如果两个三角形的三组对应边都相等，则它们全等（SSS）。
2. 如果两个三角形有两边及其夹角对应相等，则它们全等（SAS）。
3. 如果两个三角形有两个角及其夹边对应相等，则它们全等（ASA）。
4. 如果两个三角形有两个角及一角的对边对应相等，则它们全等（AAS）。
5. 对于直角三角形，斜边及一直角边相等的两个直角三角形全等（HL）。
二、全等三角形的性质
① 全等三角形的对应边相等，对应角也相等。
② 全等三角形的周长和面积均相等。
③ 全等三角形的对应边上的高也相等。
④ 全等三角形的对应角的角平分线相等。
⑤ 全等三角形的对应边上的中线相等。
三、寻找全等三角形的方法
(1) 从结论出发，找出需要证明相等的线段或角所在的两个可能全等三角形。
(2) 从已知条件出发，判断哪些条件可以确定两个三角形全等。
(3) 综合考虑条件和结论，确定它们能够共同确定哪些三角形全等。
(4) 如果以上方法均无法解决问题，可以添加辅助线来构造全等三角形。
全等三角形的证明涉及两个主要要素：边和角。
缺角条件：
缺边条件：
四、构造辅助线的常用方法
1. 利用角平分线的辅助线
当题目条件涉及角平分线时，可以利用角平分线的性质来构造辅助线。
角平分线具有以下两大性质：
① 角平分线具有对称性；
② 角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线的常用辅助线方法：
(1) 截取构全等
如图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上的一点，F为OB上的一点，如果在OA上取一点E，使OE=OF，并连接DE，则△OED≌△OFD，这样便为证明线段和角的相等提供了条件。
例如，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证BC=AB+CD。
提示：在BC上取一点F，使BF=BA，并连接EF。
(2) 角分线上点向角两边作垂线构全等
利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质来证明问题。如下图所示，过∠AOB的平分线OC上的一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足分别为E和F，连接DE和DF。
则有：DE=DF，△OED≌△OFD。
例如，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC, CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180。
(3) 作角平分线的垂线构造等腰三角形
如下图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，得到一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，利用中位线的性质和等腰三角形的三线合一性质。
如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。
例如，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC，CD⊥AD于D，H是BC中点。求证：DH=(AB-AC)。
提示：延长CD交AB于点E，得到全等三角形，可以证明。
(4) 作平行线构造等腰三角形
作平行线构造等腰三角形可以分为以下两种情况：
① 过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。
② 通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。
2. 由线段和差想到的辅助线
在求证一条线段等于另两条线段之和时，通常使用截长补短法：
① 截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；
② 补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。
在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB=2∠B，求证：AB=AC+CD。
因为AD是∠BAC的角平分线，故∠BAD=∠CAD，在AB上作AE=AC，AD=AD，由SAS公理得：△EAD≌△CAD。
所以∠EDA=∠CDA，ED=CD。由于∠CDA=∠B+∠BAD，∠BDA=∠C+∠CAD，∠C=2∠B。
所以∠BDE=∠BDA-∠EDA=(∠C+∠CAD)-∠CDA=(2∠B+CAD)-(∠B+∠BAD)=∠B。
因此△BED为等腰三角形，EB=ED=CD。故AB=AE+EB=AC+CD。
对于证明线段和差的不等式，通常会涉及到三角形两线段之和大于第三边、之差小于第三边的关系，因此可以将问题放在一个三角形中进行证明。
在使用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证明困难，可以连接两点或延长某边以形成新的三角形，从而在这些三角形中应用三边不等关系进行证明。
例如，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB+AC>BD+DE+CE。
方法1：将DE两边延长交于AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE；（1）
在△BDM中，MB+MD>BD；（2）
在△C