今天我们来探讨一个相当有趣的数学概念——
二维曲率
。它不仅是理解时空曲率的基础，同时也与大家通常所设想的时空曲率有着显著的区别。对于大多数人来说，二维曲率或许显得有些抽象，但它在数学和物理学中的应用却极为重要。
那么，二维曲率究竟是什么呢？它的实际意义又是什么呢？
在解释二维曲率之前，不妨先来看一些我们日常生活中常见的图形：
例如，看看下图，这里我们看到的是：
这不就是两条直线吗？
再来看另一幅图，这里是一条
曲线
不难发现，当我们将
直线
曲线
进行对比时，自然而然会有这样一种想法：“
直线的曲率为零，而曲线的曲率则不为零。曲线弯曲的地方，自然会有曲率。
这的确是个合理的猜测，因为我们通常会将具体的现象抽象成概念。理解曲率并非仅仅依靠直观认识就足够了。为了准确地描述自然界中的曲线特征，数学家们不得不定义出更加精确的数学工具来。
以伟大的数学家
高斯
为例，他曾经指出，曲线的弯曲程度在不同点上是有差异的。某些地方的弯曲非常明显，而另一些地方则不那么显著。按照我们的直观判断，
弯曲程度大的地方曲率较大，而弯曲较小的地方曲率较小。
高斯并没有仅仅依赖这些定性的描述。他提出了一种更为精确的定量分析方法。为了描述曲率，他发明了一些数学工具，设立了规范性的数学规则，而不是仅仅使用“大”或“小”这些模糊的词汇。
为了深入理解曲率的定义，我们引入
曲率圆
曲率半径
的概念：
曲率
的计算公式涉及到函数y=f(x)的一阶和二阶导数。如果你对导数不太熟悉，可以参考笔者的相关讲解文章。
当前我们探讨的是
二维平面上的曲率
。而在未来，涉及到的
三维曲率
甚至
四维曲率（黎曼曲率）
会变得更加复杂。
值得注意的是，
曲率半径
的定义为曲率的倒数：
曲率圆越大，曲率半径也越大，而曲率反而会变小，这意味着曲线在这一点处的弯曲程度会减少。
为了更直观地理解这些概念，让我们进行一个小实验：观察抛物线
y=x^2
在不同点处的曲率变化。
这个
曲率图像
是怎样的呢？笔者利用数学软件绘制了一下图：
从图中可以看出，
y=x^2
的曲率在x=0时最大，为2；而当x值远离0时，曲率逐渐减小，曲线看起来越来越接近直线。换句话说，曲率较大的地方看起来更像圆，而曲率较小的地方则更像直线。
这是一个有趣的问题：
曲率越大的地方，形状越圆，弯曲程度也越显著。
那么，圆的曲率又是多少呢？
没错，
圆的曲率是其半径R的倒数：
即，半径越大的圆，其曲率越小，这一点是否让你感到惊讶？
关于二维曲率的讨论就暂时告一段落了。感谢大家的阅读，希望这些内容能让你对二维曲率有一个更加清晰的了解。
——理查德·费曼