21.3 二次根式的加减
第三课时
教学内容
本节课的教学内容包括以下几个方面：含有二次根式的单项式与单项式的乘除运算；多项式与单项式的乘除运算；多项式与多项式的乘除运算；以及乘法公式的应用。
教学目标
学习和掌握含有二次根式的式子的乘除运算，并熟练应用二次根式的多项式乘法公式。
通过复习整式运算的基本知识，将其应用于含有二次根式的乘除、乘方等运算中。
重难点关键
重点：掌握二次根式的乘除运算和乘方运算的规律。
难点：将整式运算知识迁移到二次根式运算中的应用。
教学过程
一、复习引入
学生活动：请大家完成以下计算题：
1. 计算
（1）(2x + y) · zx
（2）(2x²y + 3xy²) ÷ xy
2. 计算
（1）（2x + 3y）（2x - 3y）
（2）（2x + 1）² + （2x - 1）²
教师点评：这些题目涉及的内容主要是八年级上册整式运算的复习，包括单项式与单项式的乘除、多项式与单项式的乘除、多项式与多项式的乘除运算，以及完全平方公式和平方差公式的应用。
二、探索新知
现在，如果将上面提到的x、y、z替换为二次根式，我们还能够应用之前的运算规律吗？答案是肯定的。因为整式运算中的x、y、z可以代表任何数值，包括二次根式，因此这些运算规律也同样适用于二次根式。
例1. 计算：
（1）√2 · √3 × √6
（2）（√4 - √3） ÷ √2
分析：我们知道二次根式仍然遵循整式运算的规律，因此可以直接应用整式的运算规则。
解：（1）√2 · √3 = √(2×3) = √6
√6 × √6 = 6
（2）（√4 - √3） ÷ √2 = √4 ÷ √2 - √3 ÷ √2
= 2 ÷ √2 - √3 ÷ √2
= √2 - √(3/2)
例2. 计算：
（1）（√5 + 2）（√3 - √2）
（2）（√7 + √2）（√7 - √2）
分析：在二次根式的多项式运算中，我们可以依然使用乘法公式进行计算。
解：（1）（√5 + 2）（√3 - √2）
= √5 × √3 - √5 × √2 + 2 × √3 - 2 × √2
= √15 - √10 + 2√3 - 2√2
（2）（√7 + √2）（√7 - √2）
= (√7)² - (√2)²
= 7 - 2 = 5
三、巩固练习
四、应用拓展
例3. 已知 √(a² - b²) = 2 - √2，其中a、b是实数且a + b ≠ 0，化简 √(a² + b²) 并求其值。
分析：因为 √(a² - b²) = 2 - √2，所以我们可以通过有理化分母的方法，将代数式化简为可以解决的一元一次方程。
解：原式为 √(a² + b²)
= √[(x + 1)² + x - 2 + x + 2]
= √(4x + 2)
因为 √(a² - b²) = 2 - √2
所以 b(x - b) = 2ab - a(x - a)
即 bx - b² = 2ab - ax + a²
因此 (a + b)x = a² + 2ab + b²
即 (a + b)x = (a + b)²
因 a + b ≠ 0，x = a + b
最终，化简结果为 √(4(a + b) + 2) = 4(a + b) + 2
五、归纳小结
本节课的核心内容包括二次根式的乘法、除法和乘方等运算。
六、布置作业
1. 完成教材中的习题。
2. 设计课时作业，巩固本节课所学内容。
作业设计
一、选择题
1. 计算（-3 + 2√2） × √2 的值是（ ）。
A. -3 B. 3 - √2 C. 2√2 D. -√2
2. 计算 √2 × √3 的值是（ ）。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 1
二、填空题
1. （√3 - √2）² 的计算结果（用最简根式表示）是 ________。
2. （1 - √2）（1 + √2）-（2 - √2）² 的计算结果（用最简二次根式表示）是 _______。
3. 若 x = -1，则 x² + 2x + 1 = ________。
4. 已知 a = 3 + √2，b = 3 - √2，则 a²b - ab² = ________。
三、综合提高题
1. 化简：
2. 当 x = √2 时，求 √(x + 1) 的值。（结果用最简二次根式表示）
课外知识
1. 同类二次根式：若几个二次根式化为最简形式后，它们的被开方数相同，则这些二次根式称为同类二次根式。例如，在本书中讲解的被开方数相同的二次根式即为同类二次根式。
练习：下列二次根式中，同类的有（ ）。
A. √2 与 √3 B. √5 与 √5 C. √6 与 √2 D. √7 与 √3
2. 互为有理化因式：两个二次根式互为有理化因式，当它们的乘积应用平方差公式 (a+b)(a-b) = a² - b²，同时结果为有理数，不含有二次根式。例如，√(x + 1) - √(x - 1) 与 √(x + 1) + √(x - 1) 就是互为有理化因式。
练习：√(x + 1) 的有理化因式是 ________；
√(x - 1) 的有理化因式是 ________。
3. 分母有理化：分母有理化是指通过在分子和分母上乘以一个适当的二次根式，以去除分母中的根号。
练习：将以下各式的分母有理化：
（1） 1 / √2； （2） 1 / √3； （3） 1 / √(x + 1)； （4） 1 / √(x - 1)。
4. 其他材料：如果 n 是任意正整数，则 √n = n。
理由： √(n
4. 其他材料：如果 n 是任意正整数，则 √n = n。
理由： √(n²) = n，因此 √n = n。
练习：填空 √n = ______； √(2n) = ______； √(n² + 2n) = ______。
答案：
一、选择题：
1. A
2. D
二、填空题：
1. 1 - 2√2
2. 4 - 4√2
3. 2
4. 4
三、综合提高题：
1. 原式 = √[(x + 1)² + x - 2 + x + 2] = √(4x + 2)
2. 当 x = √2 时，原式 = 2√(√2 + 1) = 4 + 6
附加练习和课外知识补充：
1. 同类二次根式的理解： 认识到当多个二次根式化简成最简形式后，它们的被开方数一致，这就称为同类二次根式。例如，√8 与 √18 可以化简为 √(4×2) 和 √(9×2)，所以它们是同类二次根式。
练习：下列二次根式中，哪些是同类二次根式？
A. √10 与 √5
B. √18 与 √8
C. √7 与 √14
D. √2 与 √8
2. 互为有理化因式： 互为有理化因式的二次根式，其乘积为有理数，不含有二次根式。比如，(√2 + 1) 与 (√2 - 1) 互为有理化因式，因为 (√2 + 1)(√2 - 1) = 2 - 1 = 1。
练习：以下二次根式中，哪些是互为有理化因式的？
A. (√5 + 2) 与 (√5 - 2)
B. (√3 + 1) 与 (√3 - 1)
C. (√6 - √2) 与 (√6 + √2)
D. (√7 + 2) 与 (√7 - 2)
3. 分母有理化的应用： 通过乘以适当的二次根式来去除分母中的根号，例如，分母有理化的常用方法包括使用平方差公式。
练习：对下列式子进行分母有理化：
（1） 1 / √5
（2） 2 / √7
（3） (√3 - 1) / (√2 + 1)
（4） (√2 + 2) / (√3 - 1)
4. 进一步的理论补充： 对于任意正整数 n，√(n²) = n。此性质是因为平方根和平方是互逆的运算，这意味着如果 n 是一个正整数，则 √(n²) 总是等于 n。
练习：填空：
√(4) = ______； √(9) = ______； √(16) = ______。
通过这些练习题目和补充材料，可以进一步巩固和加深对二次根式运算的理解，掌握如何在实际问题中运用这些数学知识，提高解题能力和应用能力。