命题：
给定一个椭圆的焦点为
，离心率为
，对于椭圆上的任意一点，则有
证明：
请参见图1。椭圆的准线方程可表示为
。根据椭圆的定义，经过化简可得
说明：
若椭圆的焦点位于
轴上，则公式变为
。在椭圆上，一点到两个焦点的距离称为焦半径，而
（或
）、
（或
）即为焦半径公式。
巧妙运用焦半径公式，可以解决许多问题。以下是几个示例。
一、求离心率
例1
如图所示，椭圆的两个焦点用线段作为直径的圆与椭圆交于
四点，依次连接这些点与两个焦点，形成一个正六边形。求离心率。
分析：
如图所示，连接
，得到
。运用焦半径公式，我们可以得到
，由此可以求得
，最终得到离心率
二、椭圆离心率的取值范围
例2
假设焦点为椭圆的两个焦点，且椭圆上始终存在一个点，使得公式成立。求离心率的取值范围。
分析：
设该点的坐标为
，由公式得
。离心率的范围是
三、焦半径的取值范围
例3
是椭圆上的一点，求焦半径
的取值范围。
分析：
假设左焦点为
，则
。最终得出焦半径的取值范围为
四、两焦半径之积的最值
例4
为椭圆的两个焦点，求椭圆上任意一点的焦半径之积的最值。
分析：
从公式
可以推得
，因此焦半径之积的最小值为
，最大值为
五、三角形的面积
例5
如果
是椭圆上的一点，而
是椭圆的两个焦点，且
，求三角形的面积S。
分析：
我们可以直接得到
。通过余弦定理计算面积，得出
六、点的坐标
例6
是椭圆上的点，且
，求该点的横坐标。
分析：
由公式
，最终解得
，因此横坐标为
七、定值问题的证明
例7
已知
是椭圆上的两点，
是椭圆的顶点，焦点为F。如果
成等差数列，证明
是定值。
分析：
，由于成等差数列，我们可以得到
。化简后得到
，因此
是定值。
八、角的大小
例8
如图3，椭圆
与双曲线
有共同的焦点，求交点的角
分析：
设交点的坐标为
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
。消去
，从而可以求得角的大小。
九、线段比的求解
例9
过椭圆
的左焦点作一条与长轴不垂直的弦，其垂直平分线与
轴交于
，求线段的比。
分析：
如图4所示，设
的坐标为
，AB的中点为
。通过计算，得出
。由两式相减并化简可得
。最终得线段的比为
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