在探讨实数的分类时，我们会发现超越数与代数数截然不同。超越数并不满足任何整数系数的代数方程，其定义与代数数恰恰相反。圆周率π（3.…）和自然对数的底e（2.718281828…）就是两个著名的超越数实例。可以证明，超越数的数量是无限的，而在所有实数中，除了代数数之外，其余的都是超越数。实数的分类可以细分为实代数数和实超越数，超越数的集合实际上是一个不可数集，这也表明超越数远远多于代数数。尽管超越数种类繁多，但目前找到的超越数依然很少，因为确定一个数是否为超越数极具挑战性。
在数学中，有一个特别有趣的比值被称为黄金分割，这个比例是通过将一条线段分成两部分，使得其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。这个比例的近似值是0.618，其美丽的设计使其广泛应用于艺术和建筑领域。通过简单的计算，我们可以发现：
1/0.618=1.618
(1-0.618)/0.618=0.618
构造一个RT三角形ABC，直边AC的长度是斜边BC的一半。以C为圆心，AC为半径绘制圆，圆与BC交于D点；以B为圆心，BD为半径绘制圆，圆与AB交于E点。BE与EA的比值即为黄金分割。其计算结果为：
[5^(1/2)-1]/2≈0.618
这一数值不仅在艺术领域如绘画、雕塑和音乐中显得尤为重要，它在管理和工程设计中也同样不可忽视。
让我们从斐波那契数列谈起。这个数列的前几个数字为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144……它的特点是从第三个数字开始，每个数都是前两个数字之和。这些数字被称为“斐波那契数”。研究发现，斐波那契数列中的相邻两个数的比值会随着序号的增加逐渐接近黄金分割比，即0.618。尽管斐波那契数列中的比值是有理数，但其比值却逐渐逼近这个无理数，随着数列的进一步展开，这种接近度会更高。
一个很好的例子是五角星或正五边形。在五角星中，所有线段长度的比例都符合黄金分割比。五角星的美丽使其在许多国旗设计中出现，我们的国旗上也有五角星。这是因为五角星的所有对角线和边的比例关系均符合黄金分割。具体地，五角星的顶角为36度，黄金分割数值可以表示为2Sin18。
黄金分割的奇妙之处在于其比例与其倒数是一样的。例如，1.618的倒数是0.618，而1.618:1与1:0.618的比例是相等的。确切值为根号5减1再除以2。
现代科学发现，0.618这个比例经常出现在自然界和日常生活中，代表最佳状态。例如，人的正常体温为37℃，与0.618的乘积是22.8℃，因此人在22℃至24℃的环境温度中会感到最舒适，这时身体的新陈代谢和生理功能也处于最佳状态。动与静的比例保持0.618也是最佳的养生方法。
数字0.618在自然界和生活中随处可见：人的肚脐是身体总长度的黄金分割点，膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。许多门窗的宽长比例也是0.618。某些植物的叶柄夹角是137度28’，这个角度把圆周分成了1:0.618的两条半径。研究表明，这种角度对植物的通风和采光效果最佳。
建筑师们对0.618数字特别钟爱。无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或是现代的埃菲尔铁塔，都与0.618的比例有关。许多名画、雕塑和摄影作品的主题通常位于画面0.618的位置。艺术家们认为，把弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，可以使音色更加柔和甜美。
数字0.618在数学中也有重要的作用，它解决了许多数学难题，如圆周的十等分和五等分等。优选法中，0.618比例的方法能够减少实验次数，效果更佳。例如，在炼钢时确定化学元素的最优添加量时，0.618法可以比传统对分法更快找到最佳结果。达·芬奇将0.618称为黄金数。
圆周率π是希腊字母第十六个小写字母的符号，它源于希腊语中的“περιφέρεια”，意为圆周。1706年，英国数学家威廉·琼斯首次使用“π”表示圆周率。1736年，瑞士数学家欧拉进一步推广了这一符号，使π成为圆周率的代名词。圆周率是圆周长与直径的比值，它在数学和物理学中扮演着重要角色，也等于圆的面积与半径平方之比。在分析学中，π被严格定义为满足sin x = 0的最小正实数x。
探索圆周率的历史可以追溯到古埃及时期。公元前2500年左右的胡夫金字塔，其周长与高度的比值为圆周率的两倍，与圆的周长和半径的比值相等。公元263年，中国数学家刘徽通过“割圆术”计算圆周率，他不断将圆内接正多边形分割，直到正192边形。他的工作包含了求极限的思想。
人们对圆周率的精确计算一直充满热情。1761年，兰伯特证明了圆周率是无理数，而1882年林德曼证明了圆周率是超越数，从而揭开了其神秘面纱。通过1536边形的计算，得到了一个令人满意的圆周率值：3927/1250 ≈3.1416。
自然常数e的定义是lim(1+1/x)^x（x→+∞）或lim(1+z)^(1/z)（z→0），其值约为2.71828，且为无限不循环小数，属于超越数。它的出现源于构造对数的等比数列，当公比稍大于1时，e的值可以得到。在公式中，e经常作为对数的底数使用，比如对指数函数和对数函数的导数中都会涉及自然常数e。e与质数分布也有关系，某个自然数a，小于它的质数数量大约为a/ln(a)，这个定理由高斯发现。
e在自然科学中的应用同样广泛，从放射性衰变到地质学的地球年龄计算，再到火箭速度的计算及生物繁殖问题，e都发挥着重要作用。e也常常出现在意想不到的地方，比如将一个数分成若干等份以最大化各份乘积的问题，解决这一问题时，e的值也会被用到。
1792年，年仅15岁的高斯发现了素数定理，提出“1到N之间的素数百分比近似等于N的自然对数的倒数；N越大，这一规律越准确”。这一理论在1896年由法国数学家阿达玛和比利时数学家布散证明。以e为底的对数表具有最优越性，微积分公式也可以用最简形式表示，因为e^x的导数就是其自身。
The End