1．空间向量的基础概念：
在空间中，具备大小和方向的量被称作向量。
备注：⑴ 空间中任意的平移都可以用一个向量来表示。
⑵ 通常，向量用有向线段来表示，其中同向且长度相等的有向线段代表的是同一个向量。
⑶ 两个空间向量可以用在同一平面内的有向线段来表示。
2．空间向量的运算规则：
定义：空间向量的加法、减法和数乘运算与平面向量的运算规则一致。
运算律：⑴ 加法交换律：a+b=b+a
⑵ 加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）
⑶ 数乘分配律：λ（a+b）=λa+λb
3．共线向量的定义：
如果两个空间向量的有向线段所在的直线是平行或重合的，那么这些向量称为共线向量或平行向量，记作 a//b。
当我们说向量 a 和 b 共线（或 a//b）时，这意味着 a 和 b 的有向线段所在线可能是同一条直线，也可能是两条平行的直线。
4．共线向量定理及推论：
定理：对于任意两个向量 a 和 b（b≠0），a 和 b 共线的充要条件是存在一个实数 λ，使得 a = λb。
推论：设直线 ι 通过已知点 A 且平行于已知非零向量 a，那么点 P 在直线 ι 上的充要条件是存在实数 t，使得 OP = OA + ta，其中向量 a 为直线 ι 的方向向量。
5．向量与平面的关系：
给定平面 α 和向量 a，若作 OA=a，且直线 OA 要么平行于平面 α，要么在平面 α 内，则向量 a 称为平面 α 的平行向量，记作 a//α。
通常，将平行于同一平面的向量称为共面向量。
说明：在空间中，任意两个向量都是共面的。
6．共面向量定理：
若两个向量 a 和 b 不共线，那么向量 P 与 a 和 b 共面的充要条件是存在实数 x 和 y，使得 P = xa + yb。
推论：点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x 和 y，使 MP = xMA + yMB，或者对任意点 O，有 OP = OM + xMA + yMB （式①）。式① 称为平面 MAB 的向量表达式。
7．空间向量的基本定理：
如果三个向量 a、b 和 c 不共面，则对于空间中任意向量 p，存在唯一的一组三个有序实数 x、y 和 z，使得 p = xa + yb + zc。
推论：设 O、A、B 和 C 为不共面的四个点，则对空间中任意一点 P，都存在唯一的一组三个有序实数 x、y 和 z，使得 OP = xOA + yOB + zOC。
8．空间向量的夹角及其表示：
给定两非零向量 a 和 b，在空间中选择一点 O，构造 OA = a 和 OB = b，则 ∠AOB 称为向量 a 与 b 的夹角，记作
。夹角的范围规定为 0 ≤
≤ π，且显然
=
。如果
= π/2，则 a 和 b 互相垂直，记作 a⊥b。
9．向量的模：
设 OA = a，则向线段 OA 的长度称为向量 a 的长度或模，记作 |a|。
10．向量的数量积：
定义： a·b = |a|·|b|·cos
给定向量 AB = a 和轴 ι，e 是轴 ι 上与 ι 同方向的单位向量，若 A 和 B 分别在 ι 上的射影为 A' 和 B'，则 A'B' 称为向量 AB 在轴 ι 上或在 e 上的正射影。
可以证明 A'B' 的长度 |A'B'| = |AB|cos
= |a, e|。
11．空间向量数量积的性质：
（1） a·e = |a|cos
（2） a⊥b ⇔ a·b = 0。
（3） |a|² = a·a。
12．空间向量数量积的运算律：
（1） (λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)。
（2） a·b = b·a（交换律）。
（3） a·(b+c) = a·b + a·c（分配律）。
空间向量的坐标运算：
一．知识回顾：
（1）空间向量的坐标系统：空间直角坐标系中的 x 轴为横轴（对应横坐标），y 轴为纵轴（对应纵坐标），z 轴为竖轴（对应竖坐标）。
① 设 a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，则 a + b = (a₁ ± b₁, a₂ ± b₂, a₃ ± b₃)。
λa = (λa₁, λa₂, λa₃)（λ ∈ R）。
a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。
a//b ⇔ a₁ = λb₁, a₂ = λb₂, a₃ = λb₃（λ ∈ R）⇔ a₁/b₁ = a₂/b₂ = a₃/b₃。
a⊥b ⇔ a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0。
|a| = √(a·a) = √(a₁² + a₂² + a₃²)（常用向量模与向量间的转化：|a|² = a·a ⇒ |a| = √(a·a)）。
cos
= a·b / (|a|·|b|) = (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃) / √(a₁² + a₂² + a₃²) · √(b₁² + b₂² + b₃²)。
② 空间两点的距离公式为：d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ -
y₁)² + (z₂ - z₁)²]。
（2）法向量：若向量 a 垂直于平面 α，则称 a 为平面 α 的法向量，记作 a⊥α。若 a⊥α，则向量 a 是平面 α 的法向量。
（3）常用向量方法：
① 法向量求点到平面的距离：设 n 为平面 α 的法向量，AB 为平面 α 上的一条射线，且 A∈α，则点 B 到平面 α 的距离为 |AB·n| / |n|。
② 法向量求二面角的平面角：设 n₁ 和 n₂ 分别为二面角 α-ι-β 中平面 α 和 β 的法向量，则 n₁ 和 n₂ 之间的夹角就是所求二面角的平面角或其补角（n₁ 和 n₂ 方向相同则为补角，方向相反则为夹角）。
③ 直线和平面平行的条件：若直线 a 不包含平面 α，且 A·B∈a，C·D∈α，且 C、D、E 三点不共线，则直线 a∥平面 α 的充要条件是存在实数对 λ 和 μ，使得 AB = λCD + μCE（通常通过设 AB = λCD + μCE 求解 λ 和 μ，若 λ 和 μ 存在则直线和平面平行，否则相交）。