这段内容主要涉及函数零点的概念和相关定理。以下是一些要点
1. 函数的零点
定义
：对于函数
y = f(x)
，使
f(x) = 0
的
称为零点。
与方程的关系
：方程
f(x) = 0
有实数根当且仅当函数图像与 x 轴有交点，即
f(x)
有零点。
零点存在性定理
函数
y = f(x)
在区间
[a, b]
上连续，且
f(a) \cdot f(b)
，则在区间
(a, b)
内存在零点。
2. 二次函数
图象
：二次函数
y = ax^2 + bx + c
的图像是抛物线。其零点与抛物线与 x 轴的交点有关。
3. 确定函数零点的方法
零点存在性定理
：检查函数在区间
[a, b]
上是否连续，并验证
f(a) \cdot f(b)
数形结合
：画函数图象，观察图象与 x 轴的交点。
零点个数的判断
直接解方程
：求解
f(x) = 0
的根。
利用图象
：观察函数图象与 x 轴的交点个数。
函数交点
：通过比较
f(x)
和
g(x)
的图象交点数来确定。
4. 求参数的方法
已知零点求参数
：直接求解方程，或通过图象来判断。
已知零点个数求参数范围
：利用数形结合，画出图象，确定满足条件的参数范围。
5. 反思与感悟
转化思想
：将方程解的个数问题转化为图象交点数问题，已知方程有解的参数范围转化为函数值域问题。
判断零点个数
解方程。
利用零点存在性定理结合函数性质。
通过
y = f(x) - g(x)
的零点个数转化为图象交点问题。
6. 易错防范
函数在闭区间
[a, b]
上连续且
f(a) \cdot f(b)
并不一定有零点，特别是当函数在该区间上单调时，零点的个数可能只有一个。
零点存在性定理仅能用于判断函数在某区间上的变号零点，不适用于判断不变号零点。