今天将探讨六种主要的数值计算方法，用于计算机求解微分方程。
有限元方法依托于变分原理和加权余量法，其核心在于将计算区域分割成若干个不重叠的单元。在每个单元内部，选择若干节点作为插值点，将微分方程中的变量转换成由这些节点值及插值函数组成的线性表达式。通过变分原理或加权余量法进行离散化处理。不同的权函数和插值函数形式会导致不同的有限元方法。
在有限元方法中，我们将计算区域细分为若干个相互连接的单元。每个单元内部采用基函数，通过这些基函数的线性组合来近似单元内的真实解。整个计算区域的解则由各个单元的近似解组合而成。
有限元方法根据权函数和插值函数的选择，可分为多种计算格式。例如，从权函数的选择来看，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法。计算单元网格的形状包括三角形网格、四边形网格和多边形网格。而插值函数则分为线性插值函数和高次插值函数等。这些不同的组合构成了各种有限元计算格式。
伽辽金（Galerkin）法中的权函数是逼近函数的基函数；最小二乘法则使权函数等于余量本身，以使内积极小化，从而最小化平方误差；配置法中，选择N个配置点，使近似解在这些点上完全符合微分方程。插值函数可以是不同次数的多项式，也可以是三角函数或指数函数。有限元插值函数有两类：一种是拉格朗日（Lagrange）多项式插值，另一种是哈密特（Hermite）多项式插值。单元坐标可以是笛卡尔坐标系或无因次自然坐标，根据单元几何形状的不同，坐标的定义也有所变化。在二维有限元中，三角形单元应用最早，而四边形单元逐渐增多。常见的插值函数包括线性插值函数和更高阶的插值函数。
有限元方法的解题步骤包括：
建立积分方程：
依据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，构建与微分方程等价的积分表达式，这是有限元法的起点。
区域单元剖分：
根据实际问题的物理特点将区域划分为若干不重叠且相互连接的单元，并为计算单元和节点编号，确定节点位置及边界值。
确定单元基函数：
根据单元中的节点数和近似解精度要求，选择合适的插值函数作为单元基函数。
单元分析：
用基函数的线性组合逼近单元中的解，将近似函数代入积分方程，得到含有待定系数的代数方程组，即单元有限元方程。
总体合成：
将所有单元的有限元方程合并，形成总体有限元方程。
边界条件处理：
根据边界条件的类型（本质边界条件、自然边界条件、混合边界条件），对总体有限元方程进行相应修正。
解有限元方程：
根据修正后的总体有限元方程组，采用适当的数值计算方法求解，得到各节点的函数值。
多重网格方法通过在不同网格层上进行迭代，平滑不同频率的误差成分，具备快速收敛和高精度的优点。
多重网格法的基本原理是：将误差分量分为低频和高频两类。普通迭代方法能快速消除高频误差，但对低频误差效果有限。通过在不同尺度的网格上进行迭代，可以有效地处理这些误差。细网格用于消除高频误差，当收敛速度减缓时，转到粗网格以消除低频误差。这种方法逐层进行，直到所有误差被消除，再逐层返回细网格。理论上，两层网格方法已经证明是收敛的，并且收敛速度与网格尺度无关。
多重网格法结合了迭代法和粗网格修正。迭代法能迅速去除高频分量，粗网格修正则能消除低频分量。细网格与粗网格之间的转移需要媒介来传递信息，限制算子和插值算子在这一过程中起到关键作用。
有限差分方法（FDM）是最早应用于计算机数值模拟的方法，并且至今仍被广泛使用。该方法通过将求解区域分成差分网格，用网格节点代替连续求解域。利用Taylor级数展开将导数用网格节点上的函数值差商代替，从而建立代数方程组。有限差分法将微分问题转化为代数问题，直观且表达简单，分为一阶、二阶及更高阶格式。根据差分空间形式，可以是中心格式或逆风格式，时间因子的影响则分为显格式、隐格式等。
有限体积法（FVM）又称控制体积法，其基本思路是将计算区域划分为多个不重叠的控制体积，通过对每个体积积分得到离散方程。这种方法直接反映了因变量在有限控制体积内的守恒原理。即使在粗网格下，有限体积法也能准确地保持积分守恒，是有限元法和有限差分法之间的折中方法。
近似求解的误差估计方法主要包括三类：单元余量法、通量投射法和外推法。单元余量法广泛应用于有限元法中，主要是估计精确算子的余量。