在高等数学的研究中，老黄经历了数月的探究，终于完成了一段艰难的公式推导工作。这些公式全都围绕着余弦和正弦的幂积不定积分递推公式展开。最初，老黄也曾怀疑这项工作的意义，认为推导最终公式可能是徒劳的，因为在递推公式形式单一时，计算机通常能够完成积分计算。经过一段时间的深入研究，老黄发现，仅凭一个递推公式，计算机无法完全求解复杂的积分问题，因为情况远比想象中的复杂。
老黄的坚持没有白费。在他的不懈努力下，他发现余弦和正弦的幂积不定积分递推公式至少有三种形式。第一种公式用于将余弦或正弦的指数降幂，这一递推公式在《老黄学高数》系列第273讲中有详细介绍，记作递推公式(1)。
进一步，老黄在第275讲中，针对含有正割或余割的情况——即余弦或正弦的指数为负数时的情形，推导出了将余弦或正弦的指数升幂的公式，记作递推公式(2)。
在第282讲中，老黄推导出了两个指数同时升幂和降幂的递推公式，记作递推公式(3)。
基于这些递推公式，老黄发现了大量的公式变种，工作显然是值得的。例如，老黄接下来的研究将关注正割和余割正整数幂积不定积分，当两个指数相差一个偶数时的情况，此时将会用到递推公式(2)。
设余弦和正弦幂积不定积分为I(m,n)，正割和余割幂积不定积分为J(m,n)，则有J(m,n)=I(-m,-n)。每当指数升一次幂，值会增加2。当|m-n|=2a时，只要使其中较小的指数（对于J来说，是较大的指数）持续升幂直到两个指数相等，就能通过2secx*cscx=csc2x将原问题转化为求解2倍角余割的正整数幂的不定积分问题。余割幂的不定积分公式已在《老黄学高数》第268和第275讲中分析过，这样问题便得到了解决。
理解了原理，问题就变得简单了。接下来看正割指数较大的情况的推导过程（详见图片）：
每一步的推导都非常复杂，需要细致思考。下面来看一道例题：
例1：计算∫(secx)^7*(cscx)^3dx。
接下来是当余割的指数更大时的推导过程。只要理解了上面的推导过程，这里会变得比较容易，因为它们遵循相同的原理：
再来看一道例题：
例2：计算∫(secx)^5*(cscx)^7dx。
老黄对这两个公式的探讨主要是为了处理奇数指数的情况。偶数指数的情况已经在《老黄学高数》第282讲中解决了。即使当两个指数都是偶数时，这两个公式仍然适用。来看一道双偶指数的例题：
例3：计算∫(secx)^2*(cscx)^8dx。
老黄将用两种方法来解决这个问题。首先使用这里的公式，这是第二个公式的应用。然后再用正割偶幂的公式进行计算，并对比两种方法的结果，看看形式上有什么不同。
通过对比解法1，可以发现结果更加简洁。这些结果经过了老黄的仔细验证。如果你掌握了这一系列的公式，定会对其庞大和复杂程度感到惊叹。