导数解析反正切函数
sin
14
26
y = \frac{1}{\sin(14x+26)}
14
26
的性质及其图像
本文将详细分析函数
sin
14
26
y = \frac{1}{\sin(14x+26)}
14
26
的性质，包括定义域、单调性、凸凹性，并探讨其单调区间和凸凹区间。
1. 函数定义域
对于函数
sin
14
26
y = \frac{1}{\sin(14x+26)}
14
26
，定义域要求分母不为零，即：
sin
14
26
\sin(14x+26) \neq 0
sin
14
26
由此得到：
14
26
14x + 26 \neq k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
14
26
kπ
解得：
26
14
x \neq \frac{k\pi - 26}{14}
14
kπ
26
函数的定义域为：
26
14
\{ x \mid x \neq \frac{k\pi - 26}{14}, \, k \in \mathbb{Z} \}
14
kπ
26
2. 函数单调性
为了分析函数的单调性，我们首先求出导数。
导数计算
14
cos
14
26
sin
14
26
\frac{dy}{dx} = -\frac{14 \cos(14x+26)}{\sin^2(14x+26)}
sin
14
26
14
cos
14
26
为了找到单调区间，我们分析函数
sin
14
26
\sin(14x+26)
sin
14
26
的单调性。我们知道：
sin
14
26
在区间
单调增
\sin(14x+26) \text{ 在区间 } \left[ 2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2} \right] \text{ 单调增}
sin
14
26
在区间
kπ
kπ
单调增
sin
14
26
在区间
单调减
\sin(14x+26) \text{ 在区间 } \left[ 2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2} \right] \text{ 单调减}
sin
14
26
在区间
kπ
kπ
单调减
单调增区间
14
26
2k\pi - \frac{\pi}{2} \leq 14x + 26 \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2}
kπ
14
26
kπ
26
14
26
2k\pi - \frac{\pi}{2} - 26 \leq 14x \leq 2k\pi + \frac{\pi}{2} - 26
kπ
26
14
kπ
26
28
13
28
13
\frac{(4k-1)\pi}{28} - \frac{13}{7} \leq x \leq \frac{(4k+1)\pi}{28} - \frac{13}{7}
28
13
28
13
单调减区间
14
26
2k\pi + \frac{\pi}{2} \leq 14x + 26 \leq 2k\pi + \frac{3\pi}{2}
kπ
14
26
kπ
26
14
26
2k\pi + \frac{\pi}{2} - 26 \leq 14x \leq 2k\pi + \frac{3\pi}{2} - 26
kπ
26
14
kπ
26
28
13
28
13
\frac{(4k+1)\pi}{28} - \frac{13}{7} \leq x \leq \frac{(4k+3)\pi}{28} - \frac{13}{7}
28
13
28
13
综上，函数的单调性如下：
函数在区间
28
13
28
13
\frac{(4k-1)\pi}{28} - \frac{13}{7} \leq x \leq \frac{(4k+1)\pi}{28} - \frac{13}{7}
28
13
28
13
内单调减。
函数在区间
28
13
28
13
\frac{(4k+1)\pi}{28} - \frac{13}{7} \leq x \leq \frac{(4k+3)\pi}{28} - \frac{13}{7}
28
13
28
13
内单调增。
3. 函数的凸凹性
计算二阶导数来分析函数的凸凹性：
二阶导数计算
14
cos
14
26
sin
14
26
\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{d}{dx} \left( \frac{14 \cos(14x+26)}{\sin^2(14x+26)} \right)
sin
14
26
14
cos
14
26
14
14
sin
14
26
sin
14
26
14
cos
14
26
sin
14
26
cos
14
26
sin
14
26
= -\frac{14 \left[ -14 \sin(14x+26) \sin^2(14x+26) - 14 \cos(14x+26) \cdot 2 \sin(14x+26) \cos(14x+26) \right]}{\sin^4(14x+26)}
sin
14
26
14
14
sin
14
26
sin
14
26
14
cos
14
26
sin
14
26
cos
14
26
sin
14
26
cos
14
26
sin
14
26
= \frac{14^2 \left[ \sin^2(14x+26) + 2 \cos^2(14x+26) \right]}{\sin^4(14x+26)}
sin
14
26
sin
14
26
cos
14
26
cos
14
26
sin
14
26
= \frac{14^2 \left[ 1 + \cos^2(14x+26) \right]}{\sin^3(14x+26)}
sin
14
26
cos
14
26
凸凹区间
函数为凹函数当
>
\frac{d^2y}{dx^2} > 0
>
，即：
14
26
2k\pi
kπ
14
26
kπ
26
14
26
2k\pi - 26
kπ
26
14
kπ
26
14
13
14
13
\frac{2k\pi}{14} - \frac{13}{7}
14
kπ
13
14
13
函数为凸函数当
\frac{d^2y}{dx^2}
，即：
14
26
2k\pi + \pi
kπ
14
26
kπ
26
14
26
2k\pi + \pi - 26
kπ
26
14
kπ
26
14
13
14
13
\frac{(2k+1)\pi}{14} - \frac{13}{7}
14
13
14
13
正弦与对数的复合函数
ln
105
73
sin
y = \ln(105 + 73 \sin x)
ln
105
73
sin
的单调凸凹性质归纳
1. 函数定义域
由于
sin
-1 \leq \sin x \leq 1
sin
，我们可以计算出：
105
73
105
73
sin
105
73
105 - 73 \leq 105 + 73 \sin x \leq 105 + 73
105
73
105
73
sin
105
73
32
105
73
sin
178
32 \leq 105 + 73 \sin x \leq 178
32
105
73
sin
178
对数函数
ln
105
73
sin
y = \ln(105 + 73 \sin x)
ln
105
73
sin
的定义域是：
(-\infty, +\infty)
2. 函数单调性
导数计算
73
cos
105
73
sin
\frac{dy}{dx} = \frac{73 \cos x}{105 + 73 \sin x}
105
73
sin
73
cos
单调区间
当
cos
>
\cos x > 0
cos
>
，即
x \in [2k\pi - \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{\pi}{2}]
kπ
kπ
时，
>
\frac{dy}{dx} > 0
>
，函数为增函数。
当
cos
\cos x
cos
，即
x \in [2k\pi + \frac{\pi}{2}, 2k\pi + \frac{3\pi}{2}]
kπ
kπ
时，
\frac{dy}{dx}
，函数为减函数。
3. 函数凸凹性
二阶导数计算
73
sin
105
73
sin
73
cos
105
73
sin
\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{73 (-\sin x (105 + 73 \sin x) - 73 \cos^2 x)}{(105 + 73 \sin x)^2}
105
73
sin
73
sin
105
73
sin
73
cos
73
105
sin
73
sin
73
cos
105
73
sin
= \frac{-73 (105 \sin x + 73 \sin^2 x + 73 \cos^2 x)}{(105 + 73 \sin x)^2}
105
73
sin
73
105
sin
73
sin
73
cos
73
105
sin
73
105
73
sin
= \frac{-73 (105 \sin x + 73)}{(105 + 73 \sin x)^2}
105
73
sin
73
105
sin
73
凸凹区间
函数为凹函数当
\frac{d^2y}{dx^2} \geq 0
，即
105
sin
73
105 \sin x + 73 \leq 0
105
sin
73
arctan
73
105
arctan
73
105
2k\pi + \pi + \arctan \left(\frac{73}{105}\right) \leq x \leq 2k\pi + 2\pi - \arctan \left(\frac{73}{105}\right)
kπ
arctan
105
73
kπ
arctan
105
73
凸凹区间（续）
函数为凸函数当
\frac{d^2y}{dx^2}
，即
105
sin
73
>
105 \sin x + 73 > 0
105
sin
73
>
arctan
73
105
arctan
73
105
2k\pi - \arctan \left(\frac{73}{105}\right) \leq x \leq 2k\pi + \pi + \arctan \left(\frac{73}{105}\right)
kπ
arctan
105
73
kπ
arctan
105
73
函数
ln
105
73
sin
y = \ln(105 + 73 \sin x)
ln
105
73
sin
在不同区间内的单调性和凸凹性由
sin
\sin x
sin
和
cos
\cos x
cos
的变化规律决定，具体区间可以根据实际需求进一步求解。