受疫情影响，开学时间被迫推迟，在家宅了好一阵子。作为基础数学专业的学生，面对一本书、一支笔、一叠纸，沉浸在数学的世界里，往往能从早到晚无忧无虑地思考。久别的老师和同学使得日子略显孤单和无聊。在这种情况下，我重拾了曾经的爱好——魔方，作为一种消遣方式。今天，我愿意与大家分享一下关于
魔方及其与数学的关系
的一些思考。
魔方，这个
小巧却风靡全球的玩具
，由匈牙利建筑学教授Ernő Rubik于1974年发明。从1980年开始大规模生产，它迅速走进了家庭的日常生活中。魔方多次出现在公众的视线中，从电影《当幸福来敲门》中威尔·史密斯通过复原魔方赢得实习机会，到近年来《最强大脑》《挑战不可能》等节目中的魔方表演，这些都展示了魔方作为“
高智商玩具
”的独特魅力。
电影《当幸福来敲门》的剧照
著名数学家
John Conway
，近期因新冠肺炎去世，他与魔方有着深厚的渊源。他是最早关注魔方的匈牙利之外的学者之一，并在1978年的芬兰赫尔辛基第十八届国际数学家大会上引入了魔方。Conway一直关注包括魔方在内的各种数学游戏和智力玩具，曾在马丁·加德纳的专栏撰写相关文章，并积极参与相关活动。
数学家John Conway肖像
魔方的魅力不仅在于它的“竞速”挑战。目前，三阶魔方的单次还原世界纪录由中国选手杜宇生保持，时间为3.47秒。北京大学校友董百强和柯言也曾分别在最少步还原和三阶盲拧项目中创下过世界纪录。
世界魔方协会庆祝杜宇生3.47秒世界纪录
随着魔方的发展，出现了各种变形版本。从四阶、五阶魔方到目前最高达到33阶的魔方，其种类越来越多。
33阶魔方示意图
各种不同形状的魔方也不断出现。除了常见的正四面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，还包括半正多面体、卡塔兰立体以及更加奇特的几何体。这些变形魔方要求玩家对几何体有深入了解，这也正是“魔方可以提升空间想象力”的来源。
不同外形的魔方
通过魔方，我们可以直观地理解各种几何体之间的联系。比如，正十二面体的三阶五魔方可以被改造成立方体形状的Hexaminx，这展示了正十二面体与立方体之间的联系：将正十二面体的八个顶点连接起来，就能得到一个立方体。从三阶五魔方转变成Hexaminx的过程，实际是切除六个“屋顶”部分。这种关系在数学中也有实际用途，用于证明正十二面体的保向对称群与交错群A5同构。
三阶五魔方与Hexaminx
在现代魔方中，我们能看到更加奇妙的几何结构。例如，“天竺葵”系列的平面转盘魔方与彭罗斯密铺（Penrose Tiling）密切相关。彭罗斯密铺因著名数学家Roger Penrose而得名，他也是将魔方引入1978年国际数学家大会的学者之一。
在计算机上，我们可以模拟一些现实中不存在的魔方，进行更多的头脑风暴。例如，4~7维空间中的魔方可以通过其三维“展开图”来观察和操作。这些高维魔方的三维展开图显示了一个四维超立方体的三维投影。
如图所示，四维三阶魔方的转动可以得到一个由八个三维立方体组成的三维展开图，每个三维立方体类似于三阶魔方的一个面，组成27块“三维贴纸”。当前视角下，我们只能看到八个三维立方体中的七个。
同样，计算机还可以模拟非欧式空间中的魔方，如三维双曲空间中的三阶魔方。
在见识了各种复杂的魔方之后，我们回到最常见的三阶魔方，探讨其与现代数学的深层联系。
在三阶魔方中，我们将一个、两个、三个颜色的块分别称为中心块、棱块和角块。
在讲解行列式的定义时，为了更直观地说明置换的奇偶性，我曾用魔方作为例子。单独旋转三阶魔方的一层90度时，角块和棱块分别形成一个四循环，都是奇置换；二者结合形成偶置换。单独交换两个棱块或角块是不可能的，只有同时交换才能实现。在四阶魔方中，一个棱块被“分割成两半”，可以得到三阶魔方上不可能出现的状态。这是“奇偶置换”的一个具体应用。
与魔方关系最密切的数学分支是代数学中的群论。维基百科“群论”页面的首张图片就是一个三阶魔方。
数学中的“群”指的是一个带有二元运算的集合，其中运算满足结合律，集合在该运算下封闭；集合中存在一个“单位元”，任意元素与之运算后不改变；每个元素都有一个“逆元”，使得元素与其逆元运算后得到单位元。例如，全体整数在加法下构成一个群，单位元是0；全体非零有理数在乘法下构成一个群，单位元是1；n个元素的所有置换在置换复合下构成对称群Sn；n个元素的所有偶置换在置换复合下构成交错群An。
三阶魔方的所有状态通过转动构成了一个群，称为“三阶魔方转动群”（简称“魔方群”）。具体来说，可以把魔方六个面上的48个方格编号，每一个转动得到的状态都是1到48的一个置换（中心块不编号，因为只在原地旋转）。魔方群实际上是对称群S48的一个子群，六个面的转动对应的置换是这个群的一组生成元。我们可以用GAP、Magma等群论计算软件分析它的性质。
最基础的任务是确定魔方群的阶数，即三阶魔方所有可能的状态数。除了“不能单独交换两个棱块或角块”的限制，还要满足“不能单独原地翻转一个棱块”和“不能单独原地旋转一个角块”的限制。经过验证，满足这些限制的所有状态都是可以达到的。那么，魔方群的阶数为：
另外一个重要的结果是确定“上帝之数（God’s number）”。上帝之数指的是在最坏情况下，还原三阶魔方所需的最多步数，也就是所有状态所需的最少步数的最大值。常用的计步方式是“半转度量（Half Turn Metric, HTM）”，即外层六个面转90度或180度均计为1步，两个状态转化所需的最小步数即为半转度量。这个度量下，三阶魔方的上帝之数为20。Tomas Rokicki于2010年8月8日在Domain of the Cube论坛上宣布了这一结果。相关论文于2013年在SIAM Journal on Discrete Mathematics上发表。尽管计算过程利用了群论的简化，但最终在谷歌的计算资源支持下，耗时约35 CPU年才得出结果。
CPU年是一个计算量的单位，表示
每秒浮点运算次数为10亿（1 GFLOPS）的计算机运行一年（8760小时）的总运算量，与具体使用的CPU无关。
另一项重要的研究成果是在魔方群的Cayley图上找到一条Hamilton回路，即经过所有顶点但不重复边的回路。这个问题被称为“恶魔算法”。由于Cayley图的顶点传递性质，一个“恶魔”只需遵循Hamilton回路上的转动序列，就能在某一步达到还原状态。考虑到三阶魔方的状态极为庞大，暴力搜索显然不可行。2011年底至2012年初，Bruce Norskog先后解决了二阶和三阶魔方的Hamilton回路问题。他的方法颇为巧妙，首先为魔方群构造了合适的群链，通过找到最小子群的Hamilton回路，逐步将陪集连接，最终得到更大层次的子群的Hamilton回路，从而解决了整个魔方群的Hamilton回路问题。
魔方不仅仅是一个趣味玩具，它与数学，尤其是群论和代数，有着深刻的联系。从它的几何演变到高级的数学应用，魔方在提升空间想象力、探究数学理论方面都发挥了不可忽视的作用。通过对魔方的探索，我们可以更加深入地理解数学的奥秘，也许这正是魔方迷人之处的最终体现。