不等式是一种用来比较两个数或代数式大小的工具。
今天，我们将探讨两个不等式问题的解法。
· 第一题：比较 a + a² + b² 与 2 × (a - b - 1) 的大小。
· 第二题：比较 (b²/a) + (a²/b) 与 a + b 的大小。
这类题目并不复杂，只需掌握一些基本思路和方法即可。通常，我们通过设定 x 来比较两个代数式或数的大小。如果给定了 a 和 b 的具体数值，比较它们的大小时，可以用 x 代入计算。如果结果大于或等于零，则说明 a ≥ b；如果结果小于或等于零，则说明 a ≤ b。
这就是解决这类问题的基本思路，非常简单。接下来，我们来解这两道题。
· 第一题：将 a + b² - 2 × (a - b - 1) 转化为两个完全平方的形式。完全平方总是大于或等于零，因此 a² + b² 会大于或等于 2 × (a - b - 1)。
· 第二题：同样的，首先设定 x 来处理问题。通分后，将分母统一为 a × b，并对分子进行适当的乘法和加减。计算结果为 (b³ + a³ - a × b) / (a + b)。
继续简化，得到 (b - a)² × (b + a) / (a × b)。在此情况下，b - a 是平方数，总是非负，而 b + a 因为 a 和 b 都小于零，所以 b + a 也小于零。负数与非负数的乘积为非正数。最后的结果是小于或等于零。
这样解决思路也很简单，关键在于将表达式转化为标准形式。
· 第二题涉及到代数式的取值范围，是常见的考点。已知 a + b 的范围是 [1, 4]，a - b 的范围是 [-1, 2]，求 3a + 2b 的取值范围。
如果直接给出 a 和 b 的具体取值范围，比如 a 在 [-1, 0] 和 b 在 [2, 4]，那么问题比较简单。3a 的范围是 [-3, 0]，2b 的范围是 [4, 8]，所以 3a + 2b 的范围是 [1, 8]。但问题中提供的是 a + b 和 a - b 的范围，那么我们需要将 3a + 2b 转换成这两个范围的形式。
通过设定 λ₁ 和 λ₂，将 3a + 2b 表示为 λ₁ × (a + b) + λ₂ × (a - b) 的形式。求解 λ₁ 和 λ₂，使得该表达式与 3a + 2b 等价。将系数整合，可以得出 λ₁ 和 λ₂ 的值，最终通过代入得到 3a + 2b 的范围。
最后的解法是利用已知范围将代数式转换为符合已知条件的表达形式。将 3a + 2b 转化为 a + b 和 a - b 的形式，并求出它们的范围。这种方法适用于处理复杂的不等式问题。
这种题目要求我们将一个代数式转换为已知范围的形式，通过等价转换来求解。最终得到的范围是 [2, 11]，因此我们在不等式问题中经常会遇到类似的考点，要求通过变形将问题转化为已知范围。
以上就是今天讲解的内容。