在探讨三角形的五个重要中心时，我们通常提到重心、外心、垂心、内心和旁心。这些点在三角形中的定义和性质构成了三角形几何学的核心部分。
三角形的五心定理涵盖了这些中心的共性。初中数学中，分数占据了相当大的比重，初一阶段以基础计算为主，而初二则开始接触几何学的多样性，特别是三角形、长方形、正方形以及菱形等几何图形的深入学习。
重心定理：
三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心
的特点如下：
1、重心到任意一个顶点的距离与重心到对边中点的距离的比为2︰1。
2、重心将三角形分成的三个小三角形的面积相等。这意味着重心到三条边的距离与这些边的长度成反比。
3、重心到三角形三个顶点的距离平方和最小。
4、在直角坐标系中，重心的坐标为顶点坐标的算术平均数，即（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。
5、以重心为起点，指向三角形三个顶点的向量之和为零向量。
外心定理：
三角形外接圆的圆心称为三角形的外心。
外心的特点包括：
1、三角形的三边的垂直平分线交于一点，这个点即为外心。
2、如果O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（当∠A为锐角时），或者∠BOC=360°-2∠A（当∠A为钝角时）。
3、对于锐角三角形，外心位于三角形内部；对于钝角三角形，外心在三角形外部；对于直角三角形，外心在斜边的中点上。
4、外心到三角形的三个顶点的距离相等。
垂心定理：
三角形的三条高线交于一点，这个点称为三角形的垂心。
垂心的特点包括：
1、三角形的三个顶点和三个高的交点可以确定六个四点圆。
2、在三角形中，重心G、外心O和垂心H在同一条直线上，且OG︰GH=1︰2（除正三角形外）。
3、垂心到一个顶点的距离是外心到该顶点距离的两倍。
4、垂心将每条高线分成的两部分乘积相等。
内心定理：
三角形内切圆的圆心称为三角形的内心。
内心的特点包括：
1、三角形的三条内角平分线交于一点，这个点即为内心。
2、内心到边的距离等于两直角边之和与斜边之差的一半。
3、在△ABC中，点P是ΔABC中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是：P0=(a×向量PA+b×向量PB+c×向量PC)/(a+b+c)。
4、O为内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，若延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC
5、在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为外心和内心，则有OI^2=R^2-2Rr。
6、（内分三边长度关系）在△ABC中，内心O的角平分线交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b。
7、内心到三角形三边的距离相等。
旁心定理：
三角形的旁心是与三角形的一边及其他两边的延长线相切的圆的圆心。
旁心的特点包括：
1、三角形的一个内角平分线与其他两边外角平分线交于一点，这个点即为旁心。
2、每个三角形都有三个旁心。
3、旁心到三边的距离相等。