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从初中起，我们便开始学习三角函数。在那个阶段，三角函数的定义依赖于直角三角形。在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值就是正弦值，而邻边与斜边的比值则为余弦值。
这个初步的定义仅适用于锐角。随着高中课程的深入，我们引入了单位圆和有向线段，将三角函数的定义扩展到所有实数范围，使其成为从实数R到实数R的函数。
这两种中学阶段的定义都依赖于图形，这种方式虽然直观，却并非数学上最严谨的表述。更深层次地讲，单位圆和有向线段的方法涉及将角度映射为实数，这一过程依赖于扇形的面积或圆弧的弧长。尽管这些直观上看似合理，但仍然是感性的解释，而非严格的数学推导。
在追求数学严谨性时，我们应从公理和逻辑出发，通过自然数理论（如ZFC或皮亚诺公理）逐步推导有理数和实数理论，再发展极限理论、微积分理论，最后是级数和微分方程理论。这些理论基于公理体系和形式逻辑，而非感觉直观。本文将利用无穷级数来定义三角函数，并探讨其性质——这是目前最为严谨的定义方法。
核心在于定义正弦和余弦函数，以下将对这两个函数进行讨论。
我们通过级数来定义以下两个函数：
许多公式的证明可以通过级数之间的四则运算直接得出（例如2sinx cosx = sin(2x)），但哆嗒君选择避免复杂的级数运算技巧，尽可能简化推导过程，以便普通读者更易理解。
1、 π的定义
上述两个级数对任意实数x均收敛，而且可以明显看出sin0 = 0，cos0 = 1。
我们还可以轻易得到这两个定义函数的奇偶性，即：
依据无穷级数的理论，这两个级数是连续且可微的，且在求导时可以逐项求导。
由此，我们得到
sin² x + cos² x 是一个常数，代入x = 0得到
通过上述公式，我们还能推导出关于两个函数的上下界的不等式。
注意到sin x 是连续且可导的，在零点的导数为cos0 = 1 > 0，这表明sin x 在0点的右邻域内单调递增，因此在区间(0, δ)上sin x > 0。(*)
为了证明sinx存在大于零的零点，我们只需证明sinx有负值的点。显然，sinx 和cosx 在任何区间内不可能恒为常数，因此假设sinx > 0恒成立时，cosx 必为单调递减。接下来利用以下推理来得到矛盾。
若cos x 恒非负，则sinx 单调递增，由单调有界原理，设有如下情形：
拉格朗日中值定理则会产生矛盾：
若存在y使得cos y
由此得出矛盾：
存在y使得siny
0，使得sinx = 0。
我们定义π为上述实数，因为sinx的连续性和(*)的结论，π > 0 且 sinπ = 0。
2、 和角公式及诱导公式
这一部分需要利用常微分方程的相关理论。
注意到，sinx和cosx 都满足下列二阶常系数线性方程：
因为sinx和cosx 是线性无关的，上述方程的解具有形式：
对于任意实数y，sin(x+y) 也满足相同的方程。代入x = 0 和x = -y得到：
同理，我们得到：
由此得到了和角公式。
令x = y = π/2，得到
由π的定义，sin(π/2) > 0，得到cos(π/2) = 0。利用sin²x + cos²x = 1得到sin(π/2) = 1。再根据cos x 在[0, π]的单调性（由π的定义，此区间内cosx 的导数-sinx 非正），可得cosπ = -1。
通过反复应用以上公式，我们得到诱导公式，
由此，2π是sinx 和cosx 的最小正周期。假设2π不是最小的正周期，则存在正数T
若T
若T = π，则 1 = sin(π/2) = sin(π/2 + π) = -sin(π/2) = -1。
若π
这样，我们获得了正弦和余弦函数的周期性特性。
利用和角公式，我们进一步推导出二倍角和三倍角公式，并计算常用特殊锐角的值。
3、 反函数
我们已知在[0,π]内，-sinx 是非正的，并且仅在x = 0 和π这两个点上取零值。这说明，在[0,π]上cosx 是单调递减的，因此在该区间内存在反函数，记作arccos x。
而sin x = cos(π/2 - x)，利用复合函数的性质可知sin x 在[-π/2, π/2]上单调递增。在这个区间内sin x 也有反函数，记作arcsin x。
特别地，我们有arcsin 1 = π/2，arcsin (1/2) = π/6，arcsin 0 = 0。
通过反函数的求导法则，对y = arcsin x 求导，得到：
同理，对于cosx 的反函数也有：
现在我们已经探讨了正弦和余弦函数的中学常用性质，那么它们与圆的关系如何呢？
4、 圆的周长和面积公式
圆的周长和面积由解析式x² + y² = r²（r > 0）定义。对于这些图形的面积和曲线长度，我们可以利用积分（基于极限）进行严谨定义。
计算面积时，由于对称性，我们考虑下面这个定积分的4倍。
对于曲线长度，令其为I，我们有：
得到I = πr²/4，因此其4倍即为半径为r的圆的面积，即πr²。
对连续可导函数y = f(x) 在区间(a, b)上的曲线长度为：
由对称性，圆的周长为定积分的4倍。
4倍即为半径为r的圆周长2πr。
通过上述积分
计算，我们建立了圆的两个重要几何性质与π的定义之间的联系。我们需要确定π的精确值。
5、 π的值是多少
在微积分中，我们使用以下公式来计算π（其中|x|
由此得到：
进行积分后，我们有：
代入x=1/2，可以得出：
这个级数的收敛速度非常好。计算到3.14的精度只需四项，计算到3.1415926的精度则需要十项。即使使用手动计算也能很容易得到结果。与传统的arctanx展开式计算π/4的方法相比，这种方法不仅收敛速度更快，而且即使计算到500项，也无法达到3.14的近似值。
在学习数学时，追求极致的严谨是否总是必要的？
有一句话说得好，数学的严谨就像衣服一样，过紧或过松都不合适。如果我们从最严谨的方式（目前最为严密的定义）开始学习三角函数，虽然这种方式可能缺乏直观，但也符合人们认识新事物的规律。理解这种严谨方法需要对实数理论和微积分有相当深入的了解，而这些内容通常在大学课程中才会涉及，这可能会拖慢三角函数的学习进度。毕竟，大多数人使用三角函数时，更关注的是它的函数性质而非其背后的逻辑底层，因此没必要将这些知识放得过于靠后。
在具备一定数学基础之后，再回过头来欣赏从实数基本理论建立三角函数的过程，体验数学的“极致严谨”，也是一种有趣的体验。
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