数学中的奇妙巧合屡见不鲜。有些看似错误的运算结果却意外地正确，这类巧合令人啼笑皆非；而有些则带来了实际的应用价值，甚至对某些学科的发展产生了深远影响。如果说数学的基本规则是从一开始就被设定好的，那么这些巧合或许是留给聪明生物的小惊喜，仿佛是上天的精心安排。
撰文 | 彭毅
（中国科学院大学，培养单位：中国科学院物理研究所）
审核 | 邓正
（中国科学院物理研究所副研究员）
你可能见过这样一种数学迷因图：
这张图展示了一种分数化简的错误方法，但令人哭笑不得的是，这个错误的结果竟然是准确的！“爱因斯坦看到这结果真想掏枪！”
其实，这种偶然间出现的数学现象就是一种
数学巧合
（Mathematical Coincidence）
偶然对消
图中的这种“偶然对消”现象，即在错误的分式约简中仍能得到正确的结果，被称为
偶然对消（Anomalous Cancellation）
。这个现象指的是在分式中通过划去相同的数字，结果却依然等于原来的分数。更广泛地说，它也指任何算术上不正确的运算处理却得到正确结果的情况。美国数学家Ralph Philip Boas于1979年首次对这种现象进行了严谨的数学分析，尽管这一错误的巧合仅仅被当作一个有趣的数学问题引起关注。
进一步探讨这一巧合的
规律性
时，人们开始思考：这样的约分还会出现多少例？是否存在规律？我们可以从最简单的情况开始，即分子和分母均为两位数的分数。我们可以将分子、分母以及“约分”过程表示为以下等式：
其中c即为
偶然对消中消除的数字
。我们关注的是分子个位数与分母十位数相消的情况，因为分子十位数和分母个位数相消是等效的。值得注意的是，c同时出现在十位和个位的情况是不可能满足条件的，因为分子和分母相等或者出现0的情况在这里是不被考虑的。我们需要记住一些基本条件，比如m、n、c都为1到9之间的自然数，且互不相等。在这些条件下，我们可以得到
满足条件的整数解
，这些解对应的分数是：
这四个分数在分子和分母均为两位数的情况下，满足偶然对消的条件。令人感兴趣的是，这些分数可以被扩展到分子和分母位数更多的情形。例如，对于26/65，如果在分子26后添加两个6，并在分母65前添加两个6，形成新的分数2666/6665，再将分子和分母中相同的三个6划去，结果依然是原始分数2/5。这种扩展方法允许我们在分子和分母中添加任意数量的6，满足偶然对消的要求，即：
同样的扩展方式适用于其他三个分数，这种规律可以通过
数学归纳法
加以证明。
如果我们将分子和分母扩展到三位数，则可以考虑更多的消除方式。即使在这些情况下，我们仍然能够发现一些有用的规律，以便构建符合条件的偶然对消分数。例如，当选择一种消除规则时，它与前述两位数情况类似，使得可消除的数位于分子后两位和分母前两位，即：
在这种情况下，
相同的十位数数字被消除了
，但分式的值没有改变。为了使分式更具“符合要求”的特点，四个正整数应彼此互不相同。例如，通过编程可以得到分子和分母均为三位数的偶然对消解的数量总共为161个；如果考虑分子或分母少于三位数的情况，满足条件的解为190个。在四位数条件下，解的总数为1851个；考虑分子或分母不足四位数时，总解数为2844个。
数学擅长将问题扩展到更广泛的情境，研究人员甚至探讨了偶然对消在任意进制下的情况，将问题本质转化为
对线性或非线性的丢番图方程（Diophantine equation）求解
，并结合扩展欧几里得算法寻找特征解。从他们的研究中获得了一些结果和规律。例如，在基数为b的进制下，如果b是素数，则不存在两位数的解；如果b-1是素数，则仅存在一个解，如4进制下的324/134=24；而解的数量必定是偶数个，除非b是偶数的平方。
更广义的偶然对消问题还包括：
这些例子看似数学笑话，但实际上也是值得探讨的现象。
乐律中的近似
如果前面的数学巧合让人觉得有趣但不够实用，那么接下来要讨论的巧合则更具实际应用价值，甚至在某些学科的发展中发挥了重要作用。这样的巧合或许更恰当地称之为合理的近似。
音乐领域
中，有一种极具非凡意义的近似：
这种近似可以追溯到公元前六世纪毕达哥拉斯学派提出的
五度相生律（或称毕达哥拉斯律，Pythagorean tuning）
。这是一种常见的调音系统，毕达哥拉斯认为，为了产生和谐的旋律，相邻音阶之间的音高应以简单的3:2比例变化，换句话说，相邻频率的比率为3:2。这种方法使得相邻频率之间的比值接近于等比数列，从而有效解决了如何在基频f与倍频2f之间划分音阶的问题。
可以注意到，
五度相生律
在一个纯八度内生成音阶的方式
（表格中的“公式”列）
可以用以下表达式概括：
这个公式显示了五度相生律产生的音阶并非完全均匀，尽管其偏差很小。由于这种不均匀性，转调时会遇到困难，人们在转调时需要微调每个音阶的音高。进一步地，
五度相生律实际上无法在调音后回到基准音
圆周的一个完整周期代表一个纯八度。根据五度相生律的规则，这个圆被蓝色虚线划分为多个扇形，但这些
扇形的圆心角并不相等
（实际上这就是五度圈的产生，即用纯五度关系排列十二个调式的方法）。而在十二平均律中，这个圆被红色实线等分成均匀区域。
从图中可以看出，两种规则下的划分非常接近。这是因为存在近似等式(5)，这种
近似使得十二平均律避免了可能的和谐问题，即这种人为的音阶分割方式是否会导致旋律听起来不和谐。前述的五度相生律是一种自然和谐的调音方式，而基于无理数的平均律虽然更复杂，但数学上的巧合完全消除了这些潜在问题。音程与基频的比率表格进一步证实了十二平均律在保持和谐的提供了调音的便利性。
这种数学上的巧合显示了乐律的精妙与复杂，也突显了数学在实际应用中的重要性。通过合理的近似，音乐不仅得以保持和谐，也方便了创作和表演。这些数学巧合，无论是奇妙的错误还是实用的近似，都在展示着数学与现实世界的深刻联系。