在探索三角形面积的计算中，我们不能忽视一个极其重要的工具——海伦公式。
传统的三角形面积计算公式为：底×高÷2。这个方法的使用前提是我们必须知道三角形的高，否则无法进行计算。
基本公式：S△ABC=(底×高)/2
利用正弦定理，我们还可以使用以下公式来求解三角形的面积：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
其中，R代表三角形△ABC的外接圆半径
假设底边为b，对应的高度为h。
根据正弦定理：sinC=h/a，所以有h=asinC。
那么，三角形的面积S△ABC就可以表示为：bh/2=absinC/2。
同样，我们可以得到：
S△ABC=absinC/2=acsinB/2=bcsinA/2
这个公式可以用于根据角的正弦值来计算三角形的面积，但如果我们不知角的正弦值，则无法应用此公式。
进一步推导，我们知道：c/sinC=2R，因此sinC=c/2R。
从而，S△ABC=absinC/2=abc/4R
如果已知三角形的三边长度，我们是否能够求得其面积呢？
请参见下图：
已知：a、b、c
求解：S△ABC
解：设x=a-y
由此得：h^2=b^2-y^2
和：h^2=c^2-x^2
由x+y=a可得：
h^2=b^2-y^2=c^2-x^2
进而：x^2-y^2=c^2-b^2
由公式：(x+y)(x-y)=a(x-y)=c^2-b^2
得：x+y=a
x-y=(c^2-b^2)/a
计算得到：x=[a+(c^2-b^2)/a]/2
=（a^2+c^2-b^2）/2a
y=[a-(c^2-b^2)/a]/2
=(a^2-c^2+b^2)/2a
因此：
x=(a^2+c^2-b^2)/2a
y=(a^2-c^2+b^2)/2a
计算h^2：
h^2=b^2-y^2
=b^2-[(a^2-c^2+b^2)/2a]^2=
[4a^2b^2-(a^2-c^2+b^2)^2]/4a^2
从而，S△ABC=ah/2
(S△ABC)^2=(ah/2)^2=a^2h^2/4
=[4a^2b^2-(a^2-c^2+b^2)^2]/16
=[(2ab)^2-(a^2-c^2+b^2)^2]/16
=(2ab+a^2-c^2+b^2)(2ab-a^2+c^2-b^2)/16
=[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]/16=
(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/16
(S△ABC)^2=
(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/16
设p=(a+b+c)/2，则：
p-a=(a+b+c)/2-a=(b+c-a)/2
p-b=(a+b+c)/2-b=(a+c-b)/2
p-c=(a+b+c)/2-c=(a+b-c)/2
因此：
(S△ABC)^2=
(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/16
=[(a+b+c)/2][(b+c-a)/2][(a+c-b)/2][(a+b-c)/2]
=p(p-a)(p-b)(p-c)
最终得到海伦公式：p=(a+b+c)/2
S△ABC=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
作为一个例子：
已知：
△ABC的三边长度分别为4、13、15
求解：S△ABC
解：p=(a+b+c)/2
=(4+13+15)/2=32/2=16
S△ABC
=√[16×(16-4)×(16-13)×(16-15)]
=√(16×12×3×1)=√576=24
S△ABC=24
另一种方法：参见图示的辅助线
通过解方程，我们可以得到高为12
S△ABC=(4×12)/2=48/2=24
由此可以看出，当只知道三边长度时，应用海伦公式可以直接求得三角形的面积，这比起需要辅助线和解方程的传统方法要简便得多。