微积分的进阶阶段，即多元函数微积分，标志着我们进入了学习的下一个层次。这个阶段的微积分可分为三部分：一元函数微积分、多元函数微积分及级数。我们将重点探讨矢量及其运算，特别是点乘和叉乘的物理含义。
多元函数微积分的学习并非易事。这里的“多元”不仅仅指增加了几个自变量，而是引入了全新的矢量概念。大多数教材在后续章节（通常分为上下两册，上册讲述一元函数和微分方程，下册讲解多元函数和级数）会首要介绍矢量和空间的基本知识。掌握多元函数微积分的关键在于理解矢量，尤其是矢量运算的物理意义，包括加法、减法、乘法和除法。
多元函数微积分的学习过程与一元函数类似。我们从极限开始，接着讨论连续性和导数，这里的导数是偏导数。然后，我们会进入微分（包括全微分），顺便介绍梯度。接下来是积分，尤其是处理第二类积分时会涉及到矢量的内积。我们会接触到统一公式，这与一元函数中的牛顿-莱布尼茨公式类似。积分的复杂性主要体现在处理第二类积分上，因为它涉及到矢量内积。接着会简单讨论场论。整体步骤如下：
邻域、极限、连续性
偏导数、全微分
梯度（附带）
积分（重积分、第一类曲线和曲面积分、第二类曲线和曲面积分）
梯度、散度、旋度以及场论
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式和微积分统一公式（附带外微分）
这些内容非常经典，但贯穿始终的核心概念是矢量。
理解矢量的物理意义，尤其是矢量运算的物理意义，对于掌握多元函数微积分至关重要。
许多微积分教材对矢量的物理意义只做了简略介绍，认为高中阶段已经学过了。高中的矢量训练远远不足以支持多元函数微积分的学习。高中可能对一元函数中的导数和积分提供了较好的直观理解，但面对多元函数时，往往感到困惑。实际上，这与大学物理的安排有关：许多基础概念都需要在学习多元函数微积分后才能真正理解。
学习多元函数微积分时，必须扎实掌握矢量的基础知识，并在学习过程中不断回顾和强化对矢量的理解。多元函数微积分其实就是对矢量进行加减运算，就像一元函数微积分处理实数的加减运算一样。
简而言之，力的矢量性质给人直观的感受。教材中通常用平行四边形的对角线解释矢量的加法，这种方法容易理解。
在讨论矢量运算时，我们发现矢量乘法有内积和外积之分。初学者往往对这些概念感到困惑，通常只能死记硬背相关公式，甚至混淆余弦定理。
使用余弦定理解释矢量内积是比较愚蠢的，因为这会让问题变得更加复杂。我们可以从内积的结果入手来理解。两个矢量的内积是一个标量。这意味着内积揭示了一个矢量在沿着另一个矢量的方向上所产生的标量结果。
内积是描述矢量行为的标量结果。
这是我们的第一个结论。也就是说，宇宙中，矢量要转化为标量，必须通过内积运算。矢量的数乘不能产生标量。
在宇宙中，矢量向标量转化的唯一途径是内积运算。
这里附上一张图以便进一步讨论。
接下来的问题是，为什么内积是同一坐标下的分量相乘并累加？而不能像外积那样进行交叉乘法？这个定义的详细解释需要结合高斯公式等后续内容，这里先简单提出论点。这实际上是数量守恒的结果。具体论点如下：
数量场守恒：如果一个矢量场及其散度符合Gauss公式的描述，则其散度所指的数量场必定守恒。
Gauss公式通过矢量内积运算来表示这一守恒定律。矢量内积运算是数量守恒的必然结果。换句话说，如果你相信数量守恒，那么数学上必须定义一种矢量间的运算方式。
至于这些运算被称为“点积”或“内积”或其他名称并不重要。如果你穿越到一个平行宇宙，发现那里的矢量运算不同，那么说明那个平行宇宙不遵循数量场守恒。
矢量内积的物理意义在于：它表示了宇宙中的数量守恒定律。
结合力的作功和能量守恒的概念，可以帮助理解这一点。
外积则比内积更为复杂。
外积引入了行列式的概念，我们可以思考二维矢量是否也可以进行外积运算？
！！！这个问题很大！！！我们暂时留到后续讨论，先给出结论：在某些情况下，二维矢量可以进行外积运算！
这里我们稍微偏离话题。多元函数的学习需要反复思考和理解，因此概念间的关系并不是绝对的前后顺序，而是交织在一起。每个概念都需要不断捋清。
通过对内积的讨论，我们也可以探讨外积。某些过程略去，建议慢慢体会。
结论一：矢量外积是两个矢量作用产生矢量的方式之一，但不是唯一的，因为还有矢量加减法。
矢量数乘虽然也是矢量，但这只能视作矢量自身的变化，无法用来描述两个矢量的作用。
考察矢量外积时，必须与斯托克斯公式联系起来。外积的引入是为了准备斯托克斯公式。微积分中，除了内积，其他运算如偏导、全微分、重积分等，都涉及不到外积。斯托克斯公式描述了宇宙中的另一个守恒律，即矢量守恒。
如果一个矢量场及其旋度符合Stokes公式描述的关系，则这两个矢量场构成守恒关系。
与矢量内积类似，我们也可以认为矢量外积是矢量守恒的必然结果。如果你相信矢量守恒，就必须定义外积及其运算方式。如果在某个平行宇宙中，矢量外积的定义与此不同，则说明那个宇宙不遵循矢量场守恒。
关于矢量的运算总结如下：
加法、减法
数乘、数除
内积
外积
奇怪的是，内除和外除似乎从未被提及。这是否揭示了关于时间旅行的某种重要秘密？
在进一步理解多元函数微积分时，要熟练掌握三维空间的矢量运算，包括直线的定义、平面的矢量表示、法线方向和切线的求法等。
下一篇文章将探讨缺失的内除和外除运算，并尝试探讨矢量除法以及时间旅行的可能性。