在研究自然数之间的互质概率时，首先需要了解欧拉乘积公式。这个公式将所有自然数的级数与质数的连乘积相联系。具体来说，当变量s > 1时，欧拉乘积公式在左侧呈现自然数的无穷级数Σ，而右侧则是所有质数连乘的结果。
例如，两个自然数互质的概率可以通过欧拉乘积公式的倒数来计算。假设s = 2时，互质的概率正好是1/ζ(2)，其中ζ(2)的值为π²/6。这意味着，两个自然数互质的概率是6/π²，大约为60.79%。对于三个自然数，互质的概率为1/ζ(3)，约为83.19%；而四个自然数互质的概率为1/ζ(4)，约为92.39%。
在先前的讨论中，我们介绍了黎曼猜想的背景，并介绍了欧拉乘积公式。该公式左侧包含所有自然数的和，而右侧则是质数的连乘积。数学家通常用大写希腊字母Σ表示求和，用Π表示连乘。欧拉乘积公式可以被简写为：
通过证明，我们得出欧拉乘积公式的正确性。定义n为f(n)，左侧是无穷级数Σ f(n)。对这个级数乘以[1 - f(2)]，可以消去所有f(2n)项，依此类推，通过乘以[1 - f(3)]、[1 - f(5)]等，可以逐步消去所有质数的倍数项，最后只剩下f(1)=1。将所有乘数移到右边，得到欧拉乘积公式的右侧，即Π [1 - f(p)]。这种证明方法展示了欧拉的非凡智慧。
在最近的节目中，当讲解这个证明过程时，初期有些观众感到困惑和沮丧，但随着讲解的深入，弹幕中的反应逐渐转为赞许和喜悦。这种变化让我感到非常欣慰，因为数学的乐趣在于理解和发现的过程。
理解数学带来的快乐是无与伦比的。就像我曾讲述过的蓝眼睛岛问题，从中不仅可以学到问题的答案，还能掌握解决问题的思维方式。
回到欧拉乘积公式，左侧的无穷级数Σ n是一个以s为自变量的函数，记作ζ(s)。这个函数称为欧拉ζ函数，而在研究ζ函数的过程中，我们能够深入理解质数的性质。例如，两个自然数互质的概率是1/ζ(2)，而ζ(2)的值为π²/6。
这个值引入了圆周率π，这与欧拉的另一项成就有关。他通过对ζ(2)的证明，展示了数学中的神奇之处。计算得到的概率为6/π²，大约60.79%。通过计算机实验验证，这个结果与理论值非常接近，这显示了该结论的准确性。
对于任意正整数s，ζ(s)的值可以帮助我们计算s个自然数互质的概率。对于正偶数s，ζ(s)的计算相对简单，如ζ(4)等于π⁴/90，约为1.0823。这意味着四个自然数互质的概率为90/π²，约为92.39%。正奇数s的ζ(s)计算复杂度更高，如ζ(3)约为1.2021。
通过对ζ函数的研究，我们对自然数互质的概率有了深刻的理解。这些结果展示了数学的魅力，也为我们揭示了质数分布的奥秘。