一、伽利略的困惑
著名物理学家伽利略曾深思一个耐人寻味的问题。我们知道，任何偶数都可以表示为2n的形式（其中n为自然数）。这样，对于每一个自然数n，通过将其乘以2，我们就能得到一个偶数2n。如果有两个不同的自然数n和m，那么也必然会有两个不同的偶数2n和2m。由此可见，自然数与偶数之间似乎可以建立一一对应的关系，这让人感觉它们的数量是相同的。直觉却告诉我们，偶数只不过是自然数的一部分，其数量仅占自然数的一半，而奇数则构成了另一半。
伽利略对这一问题进行过长时间的思考，但始终未能找到满意的答案。在接下来的两个世纪里，数学家们通常以“比任何数都大”的方式来处理涉及无穷大的相关问题。
二、康托的发现
进入19世纪，数学家康托提出了一个大胆的设想：如果我们接受自然数与偶数的数量相同，那么会有什么后果呢？从有限个体入手来探讨这个问题。设想有五个苹果和五本书，初步的直觉告诉我们它们的数量都是5。我们往往忽略了我们是如何得出这一结论的，实际上是通过阿拉伯数字5来表达的。如果我们不使用任何计数方法（如阿拉伯数字或罗马数字），但依然可以通过为五个苹果和五本书贴上标签，比如用字母ABCDE标识苹果，用字母abcde标识书籍，来实现一一对应。这样，即使在没有明确数量的情况下，我们依然可以断定它们是一样多的。
如果我们有五个苹果和七本书，毫无疑问，它们的数量是不同的。更进一步的说，只要在研究的问题中，物品的数量是某个自然数，就能通过类似的标记方式得出数量的差异。尽管语言和符号是有限的（比如英语有26个字母，俄语有33个字母），但自然数的引入使得我们能够自动完成这种一对一的标记过程。
考虑一个简单的情况：假设有100个人在旅馆外等待，而里面有一堆书，但我们不确定书的数量。当每个人都拿一本书，结果恰好分配完，没有人拿多，也没有人空手而归，这样我们可以肯定书的数量是100本。即使我们不清楚具体的书本数，但仍然可以断定人数和书本之间是一一对应的关系，这表明两个集合之间的个数是相同的。
只要研究的对象是有限的，就总能建立一对一的对应关系来判断数量的多少，而无需事先了解具体的数量。这一发现引出了一个重要的启示：对于涉及无穷多个对象的两个整体，我们能否用类似的方式去区分它们的数量？但需要注意的是，在无穷多个对象中，传统的“数量”或“个数”概念已不再适用。
康托对此提供了一个令人信服的结果。他认为，所有具有无穷多个元素的整体可以用“势”（或称“基数”）来描述。对于有限的整体，势即为其包含的元素个数。而对于两个整体A和B，如果能在其间建立一一对应关系，无论它们的具体数量如何（即使是无穷多个），则认为这两个整体具有相同的势。例如，将自然数集A与偶数集B进行对应，便可得出它们势相同的结论。这一发现既回答了伽利略的疑问，又挑战了传统常识，打破了欧几里德在《几何原本》中提出的“整体大于部分”的说法。
在谈论集合的“个数”时，若能用一个具体数字表示，则称为有限集；若无法找出具体数字，或说集合中元素的个数大于任何自然数，则称为无限集。有限集的研究在组合数学中占据了重要地位。康托的思想为无限集的元素数量引入了“势”的概念。当无限集A与B之间存在一一映射时，这两个集合便被视为具有相同的势，即为对等的。
以偶数集为例，它与自然数集具有相同的势，而许多其他集合（如分数、所有有理数）也同样与自然数集具有相同的势。于是，康托将自然数集的势定义为“阿列夫零”，这个名字来源于希伯来字母“阿列夫”，或许是因为康托本身就是犹太人。若一个无限集的势为阿列夫零，则称其为可数集；反之，则称为不可数集。康托还为无穷多种势引入了阿列夫一、阿列夫二等符号，并得出了一个重要结论：任何集合的幂集（即其所有子集构成的集合）势必大于原集合的势，这就表明不存在最大势。
康托同时意识到一个重要且自然的问题：阿列夫零与阿列夫一之间是否存在中间势？他未能解答此疑问，但他认为没有这种中间势，这便是著名的康托连续统假设。如今这一假设已被证明可以作为公理，并与集合论中的其他公理保持独立关系。
三、希尔伯特旅馆
在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特将康托的连续统假设列为20世纪最重要的23个数学问题之首，同时他还提出了一个引人入胜的故事。
故事的主角是一个名为希尔伯特旅馆的地方。某天，一位客人来到旅馆请求入住，但老板却告诉他旅馆已经客满。聪明的老板迅速想到了一个解决办法。他首先让1号房间的客人搬出，接着让2号房间的客人搬入1号房间，依次类推，让每个客人都顺次迁移，最终每位新来的客人都能找到自己的房间。
到了第二天，又来了约100位客人。尽管旅馆仍然显示满员，但老板再次展现了他的聪明才智。他依照第一天的安排，让第一个客人入住，接着让第二个客人如法炮制，直到最后一位新来的客人也有了自己的房间。第三天，更多的游客蜂拥而至，人数不定，依然是无穷多人，而老板则在顾客入住方面施展了他独特的调度技巧。
这个故事后来被数学家们称为希尔伯特旅馆，用以引出“可数无穷大”的概念，并与现代图论相结合，形成了网络枢纽无堵塞的理论。
四、尾声
自康托提出连续统假设以来，许多数学家致力于这一问题的解决。人们在康托的集合论中发现了一些悖论，进而开始对集合论进行公理化处理，尝试建立多个公理系统。策梅洛和弗兰克尔提出的ZFC公理系统成为了最常用的基础框架。通过这一公理化过程，大多数悖论得以消除。1938年，哥德尔证明了连续统假设与ZFC公理系统是相容的，1963年，美国数学家科恩进一步证明了这两者是独立的，无法确定其真伪。
这意味着，在ZFC公理系统中，连续统假设的真伪无法判定，这是20世纪60年代集合论领域的一项重要进展。正如帕斯卡所言：人如同漂浮在无限与虚无的深渊之间的孤舟，尽管我们渴望追寻确定性，却永远无法牢牢把握，稍不留神，便可能让我们所依赖的基础崩溃，而无底深渊就在脚下。数学的世界里，人类永远是探索者，而非终结者。