1. 概念抽象
奇偶性是函数的一种基本特性，反映了其图形的对称性。与单调性类似，奇偶性通过代数关系揭示了几何特性。偶函数的图形具有轴对称的特征，且对称轴固定为y轴。判断偶函数的规则是，通过观察f(-x) = f(x)来确认其图形的对称性。
同样，奇函数则是以中心对称为特征，其判断规则为f(-x) = -f(x)，即原点是其对称中心。
通过具体的实例，可以观察到当自变量取一对相反数时，相应的函数值表现出特定的规律。这可以用符号语言来表述：如果自变量x的定义域为I，且对任意x ∈ I都有-x ∈ I，并且满足f(-x) = f(x)，那么可以得出偶函数的判定规则。类似地，奇函数的本质也可以通过其符号表示进行概括。
2. 奇偶性的判定
在判断一个函数的奇偶性时，首先需要检查其定义域是否关于原点对称。若定义域对称，再进一步观察f(x)与f(-x)之间的关系：相等则为偶函数，互为相反数则为奇函数。如果定义域不对称，则该函数无奇偶性可言。
关于函数奇偶性的研究可以引申出几个重要结论：
结论一：若奇函数在x=0处有定义，那么必然有f(0) = 0。因为在此点，函数图形必须关于原点对称，而同一个x不能对应两个y值，所以只能为f(0) = 0。对于奇函数而言，即使在x=0处无定义，也只需确保有定义时必为0。
结论二：存在无穷多个既奇又偶的函数，其值域均为{0}。值得注意的是，尽管它们的值域相同，但定义域的不同使它们成为不同的函数。例如，f(x) = 0在不同的定义域（如x ∈ R，x ∈ (-1, 1)，或x ∈ [-1, 1]）下都是有效的。
结论三：考虑常数系数a、b、c、d、e、f ∈ R的多项式函数。如果f(x)为奇函数，则系数满足b = d = f = 0；如果f(x)为偶函数，则系数满足a = c = e = 0。这表明，奇函数只能包含奇次项，而偶函数只能包含偶次项。对函数的运算，奇偶性也可通过其定义进行验证：奇函数的和（或差）仍为奇函数，偶函数的和（或差）仍为偶函数，而奇函数与偶函数的积则取决于奇函数的个数，奇数个则为奇函数，偶数个则为偶函数。
3. 复合函数的奇偶性
复合函数的奇偶性取决于每个组成函数的奇偶性。为了判断复合函数F(x) = f(g(x))的奇偶性，只需将x替换为-x，并观察结果前是否有负号。
对于复合函数F(x)的不同情况：
（1）若g(x)是奇函数，即g(-x) = -g(x)，同时f(x)也是奇函数，则有F(-x) = f(g(-x)) = -f(g(x)) = -F(x)，从而F(x)为奇函数。
（2）若g(x)是奇函数而f(x)为偶函数，则F(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = F(x)，因此F(x)为偶函数。
（3）如果g(x)是偶函数，即g(-x) = g(x)，那么无论f(x)的奇偶性如何，均有F(-x) = f(g(-x)) = f(g(x)) = F(x)，此时F(x)也是偶函数。
综合上述内容，可以总结出复合函数的奇偶性规律：只要复合函数中包含至少一个偶函数，则该复合函数为偶函数；当所有层次均为奇函数时，复合函数才为奇函数。
通过对奇偶性的深入分析，可以更好地理解函数的性质及其在不同情况