在解答涉及特殊直角三角形的几何题目时，我们通常会运用一些已知的三边关系来简化计算。接下来，我们将一起来探讨一个典型的例题，涉及的角度和边长的关系非常具有代表性。
题目中给定了三角形ABC的两个角：B=30°，C=45°，而AB边长为4，要求我们计算这个三角形的周长和面积。
首先来看这个题目。相较于前几个例题，这道题目要简单一些，图形也更为直观。我们依旧可以利用特殊直角三角形的三边关系来解答这个问题。虽然题目中的角度B和角C分别是30°和45°，但这两个角并不位于直角三角形的内部。首先需要在三角形中进行适当的构造，才能够运用这些角度。
为了将30°和45°这两个角应用到直角三角形中，我们需要从A点开始，向BC边做一条垂线，设这条垂线的交点为D。通过这个构造，我们就能够使得30°的角出现在直角三角形ABD中，而45°的角则出现在直角三角形ACD中。这样一来，题目的条件就得以合理地转化。
接下来，我们来分析这两个直角三角形的几何性质。首先在三角形ABD中，30°角的对边即为AB的对边。根据30°角在直角三角形中的特性，30°角所对的直角边等于斜边的一半。由于AB的长度为4，因此AD的长度为2。
接下来考虑三角形ABD中的边BD。由于BD是60°角的对边，根据特殊直角三角形的比例关系，它的长度应该是AD的√3倍。BD的长度为2√3。
然后我们来看三角形ACD。由于角C=45°，所以三角形ACD是一个等腰直角三角形，斜边AC等于两个直角边的根号2倍。由于AD的长度为2，所以AC的长度为2√2。而且在等腰直角三角形中，另外一条直角边CD与AD相等，因此CD的长度也为2。
通过这些几何关系，我们可以进一步计算三角形ABC的周长和面积。
首先来计算周长。三角形ABC的周长等于AB + BC + CA。AB已经给出为4，BC的长度等于BD + DC，即2√3 + 2 = 2 + 2√3，AC的长度为2√2。三角形ABC的周长为：
4+(2+2
)+2
接着，我们来计算面积。面积的计算公式为：
S=
×底×高
我们选择BC作为底，AD作为高。底边BC的长度是2 + 2√3，高AD的长度是2，因此面积为：
S=
×(2+2
)×2
经过计算，面积为：
S=2+2
通过以上的计算，题目已经顺利完成。