线性代数是一门非常注重逻辑和连贯性的学科，因此如果在课堂上稍微走神，往往就会错过接下来的重点，进而导致理解困难。曾经，我按照B站一位深耕人工智能多年的专家的建议开始学习机器学习基础，并根据他的学习路线图逐步深入。他指出，对于学习机器学习的初学者来说，线性代数的重点内容应当是：向量、矩阵、矩阵运算、范数、特征向量和特征值等基础概念。
在掌握了矩阵和向量的基本概念后，我发现矩阵的秩和向量的秩问题涉及到了行列式的相关知识，而这些内容让我感到一头雾水。为了理解这些复杂的概念，我只得回过头来重新复习行列式的内容。
如果这篇文章能恰巧被一些正在大学里努力学习的同学看到，想对大家说一句：一定要认真学习每一门课程。你现在看似不怎么重要的知识，或许在将来工作时会派上大用场。回想我自己过去的经历，曾经的荒废时光让我现在不得不加倍努力，才得以追赶上这些曾经落下的知识点。
同样，如果这篇文章能被已经进入工作多年的朋友看到，我想大家一定会有所共鸣。机器学习的学习过程中，有时你会感到自己进展缓慢，一天学下来的收获似乎微不足道，甚至会开始怀疑自己的能力，产生放弃的念头。但即便如此，坚持下来，复习、巩固，并将学到的知识应用到工作中，你会发现随着时间的推移，自己会变得越来越熟练。不论遇到什么困难，都不要轻易放弃，一起加油，共同努力吧！
在学习线性代数方面，推荐大家可以参考B站宋浩老师的，他的讲解深入浅出，非常适合初学者。链接如下：宋浩老师的线性代数。
排列与逆序数
什么是排列呢？排列是由1, 2, 3, …, n组成的一个有序的数字序列，其中不能遗漏任何一个数字。例如，序列1312321就被称为3阶排列。
那么，n阶排列的所有可能性有多少种呢？可以通过阶乘公式来计算：n(n-1)…3×2×1，即n!。
接下来，什么是逆序呢？逆序是指在排列中较大的数字排在了较小的数字前面。逆序数则是排列中所有逆序的总数。举个例子，考虑排列4213，从左到右，4比2、1、3都大，因此逆序数有3个；接着，2比1大，因此逆序数再加1个；而1小于3，所以没有逆序数。最终，逆序数N(4213) = 3 + 1 = 4。
如果逆序数是奇数，这个排列就叫做奇排列；如果逆序数是偶数，那就是偶排列。而从1到n的标准排列，逆序数为0，称为n阶标准排列或自然排列。
逆序数与排列的奇偶性
举个例子，考虑排列54123，它的逆序数是4 + 3 + 0 + 0 = 7；而排列54213的逆序数是4 + 3 + 1 + 0 = 8。可以看到，交换两个元素时，逆序数的奇偶性会发生改变。经过数学证明，可以得出一个定理：在n阶排列中，奇排列和偶排列的数量是相等的。
行列式与逆序数
行列式的计算中，涉及到排列和逆序数。比如，考虑一个3阶行列式，其行标按照标准排列，列标则是排列的所有可能。对于每一列，我们取出3个元素并相乘，如果该列的排列逆序数是奇数，则乘积带负号；如果是偶数，则乘积为正。
行列式的正负号是由列标的排列奇偶性决定的。经过进一步推导，可以得出，n阶行列式展开时，其正负号由列标的排列决定。
特殊行列式
在计算n阶行列式时，除了按行排列展开外，还有一些特殊形式的行列式。比如，若行列式是上三角、下三角或对角形矩阵，那么它的值就是主对角线元素的乘积。像“山寨”上三角、山寨下三角等特殊矩阵，其行列式值也可以通过类似的方式计算得出。
除了按行或按列展开外，行列式的计算方法还有其他一些不常见的形式。在这些形式下，我们可以通过一系列公式进行推导和计算。
转置与行列式的性质
在行列式的计算中，转置操作有时也会用到。转置矩阵的定义是，将矩阵的每一列变成行，组成新的矩阵。虽然转置符号很少用，但理解这一概念对深入学习线性代数非常重要。
行列式的性质有很多，其中一些重要性质包括：交换两行（或两列）会导致行列式符号变化；如果两行或两列相等，那么行列式的值为零；如果某一行（或列）全部乘以常数k，则行列式也会乘以k。
余子式与代数余子式
余子式是指，在行列式中去除某一行和某一列后，剩下的部分所构成的行列式。与余子式相关的概念是代数余子式，它在余子式的基础上，乘以符号(-1)的行列次方之和。
拉普拉斯展开定理
拉普拉斯定理是一种通过按行或按列展开行列式的计算方法。通过该定理，可以将一个n阶行列式分解为多个k阶子式的代数和。这个方法在计算高阶行列式时非常有用。
克拉姆法则
宋浩老师还讲到了克拉姆法则，虽然由于计算量大，实际应用时较少使用，但它仍然是一个有价值的知识点。简单来说，克拉姆法则用于求解线性方程组的解，特别是当方程组是齐次的且其行列式D不为零时，方程组只有零解。
通过不断推导和应用这些知识点，逐步掌握线性代数的核心内容，你会发现自己在机器学习和其他领域的学习中会更加得心应手。