极化恒等式在高中数学中是一个非常有用的工具，尤其在处理向量问题时显得尤为重要。今天，我将为大家详细讲解这一概念。
在课本中，极化恒等式并没有完全展开，尤其是在《人教版数学必修第二册》的第21页上，课本只是暗示了这一公式的存在，鼓励我们自行去探索和发现。现在，让我们来深入了解这个公式。
假设有两个向量OA和OB，它们的起点都在O点。连接AB，取AB的中点为C点。根据向量的和与差的性质，我们可以得到以下关系：OA向量加上OB向量等于2倍的OC向量。OA向量减去OB向量等于2倍的BC向量。也就是说，OA减去OB实际上等于BA，而BA是BC的两倍。
接下来，我们对这两个关系式进行平方处理。对第一个式子平方，我们得到：OA² + OB² + 2×(OA·OB) = 4×OC²。同理，对第二个式子平方，得到：OA² + OB² - 2×(OA·OB) = 4×BC²。将这两个式子联立，减去其中一个，我们可以得出：4×(OA·OB) = 4×(OC² - BC²)。由此，得出OA向量与OB向量的数量积等于OC²减去BC²，这就是极化恒等式的核心公式。
极化恒等式的关键在于，它适用于具有相同起点的向量。当我们需要求解这类向量的数量积时，极化恒等式提供了一个非常简便的计算方式。记住，它的公式形式为：共起点的数量积 = 和向量一半的平方 - 差向量一半的平方。这一关系式是通过和与差的巧妙结合推导出来的。
现在我们来看看一个具体例题，这是2022年北京高考的一个题目。给定三角形ABC，其中AC = 3，BC = 4，且∠C = 90°，根据勾股定理，AB = 5。现在有一个点P在平面内运动，且PC = 1。我们需要求解PA与PB的数量积。显然，这正是一个典型的共起点数量积问题。我们可以连接PE向量，并选择AB的中点D作为参考点。PA·PB的数量积可以用极化恒等式来计算。
通过进一步的推导，首先计算出PD的取值范围。根据几何图形的关系，我们发现PD的最小值为3/2，最大值为7/2。代入极化恒等式，最终我们可以得到PA·PB的数量积的取值范围是[-4, 6]，因此答案为6。
通过这道题，我们可以更清楚地看到，极化恒等式在解题过程中的巨大优势。它使得我们能够快速求得共起点向量的数量积，简化了繁琐的计算过程。