考试科目：高等数学、线性代数
一、考试基本信息
满分与时间：试卷满分为150分，考试时长为3小时。
答题方式：考试采用闭卷笔试形式。
试卷内容比例：
高等数学占比约80%
线性代数占比约20%
二、试卷题型结构
选择题：共10题，每题5分，合计50分。
填空题：共6题，每题5分，合计30分。
解答题：共7题，包含证明题，合计70分。
高等数学部分
一、函数、极限与连续性
本部分涉及到函数的多种性质及其相关概念。需要理解并掌握以下内容：
函数的基本概念：包括函数的表示方法、有界性、单调性、周期性、奇偶性等特性。学生需能熟练应用函数的复合、反函数、分段函数和隐函数等常见形式，掌握基本初等函数的性质及其图形。
极限的概念与性质：考察数列极限与函数极限的定义与性质，理解极限运算及其基本准则，能判断函数的左极限、右极限及极限存在的关系。掌握极限四则运算和无穷小量与无穷大量的比较方法。
函数的连续性：学习函数连续性的定义，能够判断函数的间断点类型。对于初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质（如有界性、介值定理等），要求学生能够灵活运用。
考试要求：
理解并掌握函数的概念、表示法及应用，能够建立并求解与实际问题相关的函数关系。
熟悉函数的各种性质，如单调性、周期性、奇偶性等。
理解极限的概念、性质及其四则运算，能有效应用极限的判定准则和常见极限公式。
掌握无穷小量与无穷大量的比较方法，并能通过等价无穷小量法求解极限。
熟悉并掌握函数连续性的判断方法，能够判断函数的间断点类型及应用相关性质解决问题。
二、一元函数微积分
这一部分主要考察学生对微分学的掌握，包括导数和微分的基础概念、几何意义、以及物理意义等。
导数与微分：理解导数的几何与物理意义，能用导数求平面曲线的切线和法线方程。掌握导数与微分的基本运算，包括复合函数、隐函数的求导方法。
高阶导数与微分定理：掌握高阶导数的计算及其在函数极值判定中的应用。熟悉微分中值定理、洛必达法则以及泰勒公式的应用。
函数的极值与图形分析：理解函数单调性的判断、函数图形的凹凸性、拐点的判定以及渐近线的分析。
曲率：学习曲线的曲率及其相关计算方法。
考试要求：
熟悉并掌握导数与微分的基本概念与运算，能计算高阶导数并求解相关应用问题。
能够利用导数分析函数的单调性、极值、极值的性质及相关应用。
掌握曲线的凹凸性及拐点的判定方法，能够根据二阶导数判断函数图形的性质。
理解并会用洛必达法则、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等定理求解极限问题。
能够通过导数和微分描述物理现象及计算相关问题。
三、一元函数积分学
本部分重点考察学生对积分的理解和计算能力，包括不定积分和定积分的基本概念与性质。
不定积分：理解原函数和不定积分的基本概念，掌握常见的不定积分公式和方法，特别是换元积分法和分部积分法。
定积分：掌握定积分的基本性质、计算方法以及与几何、物理量的关系，能计算一些实际应用问题，如图形面积、旋转体体积等。
反常积分：了解反常积分的概念，能计算简单的反常积分。
考试要求：
理解并掌握不定积分和定积分的基本概念及常见求解方法。
熟练应用换元法与分部积分法解答积分问题。
能计算常见的几何量（如面积、体积等）以及物理量（如功、质心等）所对应的定积分。
了解反常积分的基本概念，并能正确求解相关问题。
四、多元函数微积分学
这一部分涉及到多元函数的微积分理论，重点考察学生对偏导数、极值问题以及积分问题的掌握。
多元函数的概念：理解并掌握多元函数、偏导数、全微分等概念，能够进行简单的多元函数的求导与积分。
极值问题：理解并掌握多元函数的极值、条件极值问题及其求解方法，能应用拉格朗日乘数法解决约束极值问题。
二重积分：学习并掌握二重积分的计算方法，能在直角坐标与极坐标下进行计算。
考试要求：
理解并掌握多元函数的基本概念，特别是偏导数和全微分的计算。
能够解决多元函数的极值问题，包括条件极值的求解。
熟悉并能计算二重积分，能够在实际问题中应用二重积分求解几何与物理量。
五、常微分方程
本部分主要涉及常微分方程的基本解法与应用。
基本概念：理解常微分方程的阶数、解的形式、初始条件等概念。
一阶微分方程：掌握变量可分离法、一阶线性微分方程的求解方法。
高阶微分方程：掌握解高阶微分方程的降阶法及其应用。
线性微分方程：掌握线性常系数齐次微分方程及非齐次方程的求解方法，能够求有多项式、指数函数、三角函数等的常系数线性方程。
考试要求：
理解常微分方程的基本概念，能够求解一阶微分方程。
能够利用降阶法求解特定类型的高阶微分方程。
掌握常系数线性微分方程的解法，能够解二阶及以上常系数线性微分方程。
能够应用微分方程求解实际问题。
线性代数部分
一、行列式
行列式的基本概念、性质以及按行列展开定理的应用。
考试要求：
理解行列式的基本性质，并能应用行列式展开定理进行计算。
二、矩阵
矩阵的基本概念、运算方法，以及矩阵的逆、秩、伴随矩阵等相关内容。
考试要求：
理解矩阵的基础概念与运算，包括矩阵乘法、转置、逆矩阵等。
掌握矩阵的秩计算方法，并理解矩阵的等价性。
三、向量
向量的线性组合、线性相关性以及内积的概念。
考试要求：
理解向量的基本概念与运算，能够进行线性组合与判断线性相关性。
四、线性方程组
线性方程组的解法，包括克拉默法则和初等行变换。
考试要求：
能够使用克拉默法则解决线性方程组，掌握其解的性质与结构。
五、矩阵的特征值及特征向量
矩阵特征值与特征向量的计算与应用，特别是相似矩阵的概念。
考试要求：
理解矩阵的特征值和特征向量，能够求解特征值问题并判断矩阵的相似性。
六、二次型
二次型的矩阵表示及其标准形化简。
考试要求：
理解二次型的概念，能够将其化为标准形，并判断高等数学
一、函数与极限
极限的概念是分析学的基础，尤其是在数列极限与函数极限之间的联系上，需要掌握其性质与计算方法。无穷小量与无穷大量是极限理论中的重要内容，在实际问题中经常运用极限的四则运算来简化计算。极限的存在也有相应的准则，其中单调有界准则与夹逼准则是常用的求解方法。掌握极限的基本计算方法，能够帮助解决一些常见的数学问题。
函数的连续性也是高等数学中的重点内容。理解函数在某点的左极限与右极限，判断函数是否在该点连续，并能根据连续性的特性，进行相关的定理应用。例如，闭区间上的连续函数有许多优良性质，这些性质在实际问题中有广泛应用，尤其是在求解最大值、最小值问题时，闭区间连续函数的性质尤为重要。
二、一元微分学
导数与微分是微积分中的核心概念，它们的几何意义和物理意义都至关重要。导数反映了函数的瞬时变化率，而微分则是导数在小范围内的线性逼近。掌握导数的四则运算、复合函数的求导法则及常见初等函数的导数公式，是解决微分问题的基础。导数与函数的连续性密切相关，函数的可导性与连续性之间的关系也需要深入理解。
在处理高阶导数时，要注意导数的求法与应用，特别是高阶导数在分析函数图像的凹凸性、极值等方面的应用。微分中值定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等也是微分学中的重要工具。掌握这些工具，可以帮助在求极限、解应用问题时，简化计算过程。
导数不仅用于函数的极值问题，也广泛应用于图形的研究，例如判断函数图形的凹凸性、求解函数的拐点、渐近线等。特别是通过导数的二阶判别法，可以直接判断函数图形的凹凸性质及拐点位置，为绘制函数图像提供理论依据。
三、一元积分学
积分作为微积分的另一大基础概念，与导数紧密相关。原函数与不定积分的计算是积分学的核心内容。不定积分的基本公式、性质、换元法和分部积分法是求解积分问题的常见技巧。定积分则侧重于计算曲线下面积、物理量（如功、质量等）以及在实际问题中的应用。
定积分有许多重要的性质，其中定积分中值定理为我们提供了计算定积分的一种途径。通过定积分的换元法与分部积分法，可以有效简化积分计算。掌握定积分的几何意义和物理意义，可以帮助解决许多与面积、体积、质量、力等相关的问题。
反常积分是积分学中一个重要的分支，它的计算方法与常规积分有所不同，需要特殊的技巧来处理。反常积分在实际应用中也有重要意义，尤其是在物理学和工程学中常常涉及。
四、多元函数微积分学
多元函数微积分是扩展一元函数微积分的自然延伸。多元函数的偏导数、全微分是研究多变量函数的基础，偏导数反映了函数在某一方向上的变化率，全微分则表示函数在小范围内的线性逼近。对于多元复合函数、隐函数的求导法也需要熟练掌握，这些内容为解决实际的多变量问题提供了必要的工具。
在多元函数的极值问题中，需要了解条件极值的概念，并掌握利用拉格朗日乘数法求解极值的技巧。二重积分是多元积分的基础，掌握二重积分的计算方法（直角坐标法与极坐标法）是解决多元函数积分问题的关键。
五、常微分方程
常微分方程是描述物理、化学、生物等许多领域问题的数学工具。常微分方程的基本概念包括方程的阶数、解的概念等。对于一阶微分方程，了解变量分离法、齐次微分方程的解法，并掌握一阶线性微分方程的求解方法是基础内容。对于二阶及更高阶的微分方程，尤其是常系数微分方程，掌握解的结构定理以及常见解法是至关重要的。
高阶线性微分方程常见的解法包括特征方程法与常系数方程的求解方法。对于非齐次方程，可以使用常见的特解方法（如多项式、指数函数、三角函数等）来求解。常微分方程在实际应用中，如物理学、工程学中的应用模型，具有广泛的使用价值。
线性代数
一、行列式
行列式是线性代数中的重要工具，广泛应用于矩阵的逆、线性方程组的求解等方面。理解行列式的基本性质，掌握行列式的计算方法是学好线性代数的基础。通过行列式按行（列）展开定理，可以有效地简化行列式的计算过程。
二、矩阵
矩阵是线性代数中的核心对象，矩阵的运算包括加法、乘法、转置、求逆等。掌握矩阵的基本性质及运算规则，对于后续的线性代数问题具有重要作用。逆矩阵的概念及其计算方法是解决线性方程组的基础。
矩阵的秩、初等变换及分块矩阵等内容，也是学习线性代数的重要组成部分。特别是矩阵可逆性的判断，依赖于其行列式是否为零。通过初等变换，可以将矩阵转化为更简单的形式，进而求解相关的线性方程组。
三、向量
向量是描述空间中的大小与方向的数学对象。在研究向量的过程中，重点是向量的线性组合、线性相关性与线性无关性等性质。通过学习向量组的秩与矩阵秩之间的关系，可以帮助更好地理解向量空间的结构。
向量的内积和正交化方法也是线性代数中的重要内容。施密特正交化方法能够将一组线性无关的向量转化为正交基，这在解线性方程组、计算特征值等问题中有广泛的应用。
四、线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础问题，解线性方程组的方法有多种，其中克拉默法则是最基本的解法之一。理解齐次与非齐次线性方程组的解的性质及通解的求法，对于掌握线性代数具有重要意义。
通过初等行变换，可以将线性方程组转化为标准形，进一步简化求解过程。了解齐次线性方程组的基础解系与通解，也是解决实际问题的关键。
五、矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值和特征向量在许多数学问题中起着重要作用。掌握求解特征值和特征向量的方法，对于理解矩阵的性质、进行矩阵的对角化以及求解线性系统等问题至关重要。
特征值和特征向量的概念在解决矩阵相似性、矩阵的对角化等方面具有广泛应用。通过将矩阵对角化，可以将问题转化为更简便的形式，进而求解相关的数学模型。
六、二次型
二次型是线性代数中的一个高级话题，其主要研究二次型的矩阵表示、标准形与规范形的转换。通过合同变换和正交变换，可以将二次型化为标准形，从而简化后续的计算和分析。
二次型的正定性、秩等性质对于判断二次型的性质和进行优化问题求解有重要作用。