9月初，两位数学家在计算机的帮助下，宣布成功了困扰数学界长达65年的42的立方和问题。他们表示接下来的目标是探索数字3的非平凡解。而不到一个月，他们便找到了自己期待的答案。这一突破让人振奋，同时也让我们想起一些存在了数百年之久，依然未解的数学难题。尽管这些问题表面上看似简单，但要为其提供证明却难度极高。以下，我们将一一介绍几个这样的数学难题。
1. π + e = ？
π与e是数学中最为人熟知的两个常数，而当我们将这两个数相加时，所带来的问题却让许多数学家束手无策。
这个谜题与实代数数相关。若一个实数是某个多项式方程（其系数为整数）解之一，那么该数便是代数数。例如，方程x² - 6 = 0的根为x = ±√6，而√6和-√6就是代数数。
所有有理数及其根都属于代数数，基于这个逻辑，许多人可能会认为大多数实数都是代数数。事实却正好相反，绝大多数实数是超越数。这里的“几乎所有”具有严谨的数学含义。那么，哪些数是代数数，哪些是超越数呢？
π早在古希腊时期就已为人所知，而e则是在17世纪被发现。对于这两个常数，我们也许会认为它们的基本性质早已被数学家们彻底搞明白。但事实上，尽管我们知道π和e都是超越数，却仍然无法确定π + e到底是代数数还是超越数。类似的，我们也无法确定πe、π/e等其他简单组合是否属于代数数。即使是这些我们已知上千年的常数，依然潜藏着许多未解的奥秘。
2. γ是有理数吗？
这是另一个看似简单，但解决起来却极为困难的问题。要理解这个问题，首先需要明白有理数的定义。
有理数是指可以表示为p/q形式的数，其中p和q是整数。例如42、11/3等都是有理数，而π和√2则属于无理数。这个定义十分基础，按照常理，我们应该能轻松判断一个数是否为有理数。
欧拉常数（γ）却让我们陷入困惑。γ的值约为0.5772，它可以通过以下方程表达：γ是调和级数与自然对数之差的极限。虽然它是由两个已知的数学对象组成，且经常出现在各种公式中，但我们至今无法确认γ是有理数还是无理数。尽管数学家们已经计算出γ的万亿位数，仍未能提供决定性的证明。一种猜想认为γ是无理数，而这一问题与之前的π + e是否为代数数类似，都是我们对熟悉数字基本属性的认识障碍。
3. 吻接数问题
数学中有一个广泛研究的课题，称为球体填充问题。无论是纯数学研究还是实际应用中，这类问题都非常常见。例如，现实中我们经常看到商店将水果堆积成一堆，而数学上，球体填充问题就涉及到如何将球体放置在某个给定的空间内。虽然一些问题已经得到了完整的解决，但有些看似简单的问题仍然令数学家们困扰，其中就包括吻接数问题。
在一个由多个球体构成的集合中，每个球的吻接数是指与它接触的其他球的数量。如果某个球周围有6个相邻球体，那么它的吻接数就是6。整个球体堆积的集合会有一个平均吻接数，这一数字有助于用数学模型描述这种情况。但有关吻接数的一个基本问题，至今仍未解答。
在讨论这一问题时，我们需要先理解数学中的维度概念。维度是指独立坐标轴的数量。例如，二维平面由x轴和y轴组成，而一维则是由一条直线表示。在数学上，维度有着严密的定义。科幻电影中那些提到“进入不同维度”的情节，在数学上是没有实际意义的。
至于吻接数，数学家们已经证明了在低维空间中的球体最大吻接数。例如，在一维空间中，球体只有两个接触点（两端），因此吻接数为2。三维空间的吻接数问题在上世纪50年代得到了明确的答案。四维及更高维度的吻接数问题仍未得到完美解决。数学家们已将可能的解缩小到大约24维，但对于更大维度的解答，仍面临着众多障碍，特别是计算能力的限制。预计在未来几年，随着技术进步，这一问题可能会逐步得到突破。
4. 解结问题
解结问题的最简单版本已经被解决，但至今仍没有全面的答案。
这个问题源自纽结理论，它研究的是如何用数学方法解开各种结，类似于我们实际打鞋带时的操作。举个例子，你可以通过简单的步骤将一个“方型扭结”转变为“外平行结”，但能否证明这两者是不同的结呢？这就是纽结理论所要研究的内容。
对于数学家来说，一个重大挑战是研究一种算法，能够判定某个复杂的纠缠是否可以解开。好消息是，过去20年里，数学家们已经成功设计出了一些算法。尽管如此，解结问题仍属于一种NP问题（非确定性多项式问题），我们目前并不确定它是否属于P问题（可在多项式时间内解决）。换句话说，现有的算法能处理各种复杂的解结问题，但随着问题复杂度的增加，解决它们所需的时间可能会变得无法接受。如果有一天有人提出一个能够在多项式时间内解结的算法，解结问题就会得到彻底解决；反之，如果能证明这一点不可行，解结问题将永远面临巨大的计算挑战。
5. 大基数问题
19世纪末，德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）发现，无穷大不仅存在，而且还有不同的大小。他证明了某些无限集合的元素数量，比其他集合要多。例如，最小的无限集合的基数记作ℵ₀，它代表自然数集合的大小（|ℕ| = ℵ₀）。康托尔也证明了实数集合的基数大于ℵ₀（|ℝ| > ℵ₀）。更令人的是，无穷大并不是唯一的，还存在更大的无限集合。
这一发现为数学家们开辟了新的研究领域，也催生了大基数的概念。随着时间的推移，数学家们不断发现新的、更大的无穷大。即使在今天，仍然有新的基数不断被定义并命名，有些甚至在2019年才被确认。而数学家们认为，大基数的探索几乎没有尽头，未来几十年内，基数的发现仍将继续。
6. 哥德猜想
在众多的数学未解之谜中，有一个看似简单却至今无法证明的问题，那就是哥德猜想。该猜想提出，每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。比如，18 = 13 + 5，42 = 23 + 19。这一猜想已被计算机验证到了非常大的范围，但至今没有人能提供完整的数学证明。
哥德猜想最早出现在1742年，源自德国数学家克里斯蒂安·哥德与瑞士数学大师莱昂哈德·欧拉的通信。欧拉曾表示：“我相信这一猜想是完全正确的，尽管我无法证明它。”对于这一问题，数学家们发现，随着数字的增大，偶数的分解方式也呈现出更复杂的模式。比如8只能分解为3 + 5，而42则可以分解为5 + 37、11 + 31、13 + 29、19 + 23等。对于更大的偶数，哥德猜想仍未能得到充分证明。
至今，哥德猜想依然是数学界最古老、最具挑战性的未解问题之一。