一、平方根、算术平方根与立方根
1. 平方根
（1）定义：一个数的平方根是指那个数与自己相乘结果等于原数的数。具体来说，如果某个数的平方等于某个数
a，那么这个数
x 就是
a 的平方根，通常称为
a 的二次方根。
对于正数而言，平方根有两个，分别是正负两个数，它们互为相反数。而零的平方根是零，负数则没有平方根。
（2）方运算：求一个数的平方根的过程称为“方”。对于一个正数的平方根，通常我们表示为“正平方根”，而负平方根则表示为“负号平方根”。
2. 算术平方根
（1）概念：算术平方根指的是对于一个正数
a，其平方等于
a 的非负根。也就是说，若
=a，那么
x 就是
a 的算术平方根，通常表示为
（2）非负性：算术平方根有两个关键特性：被开方的数是非负的；算术平方根本身也是非负的。算术平方根只能是零或正数。
（3）运算关系：计算一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算。在实际计算时，可以借助平方的逆运算来得到平方根。
3. 立方根
（1）定义：立方根是指一个数的立方等于某个数
a 的那个数。具体来说，若
=a，那么
x 就是
a 的立方根，记作
（2）性质：立方根对于任何数都有解。正数的立方根是正数，零的立方根是零，负数的立方根是负数。
（3）开立方运算：求一个数的立方根的过程称为“开立方”。在立方根的计算中，被开方的数可以是正数、零或负数，且每个数都有且仅有一个立方根。
4. 平方根与立方根的性质
（1）平方根的性质：每个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数。零的平方根是零，而负数则没有平方根。
（2）立方根的性质：每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零。
二、无理数的定义及估算
1. 无理数的定义
（1）定义：无理数是指那些不能表示为两个整数比的数，且其小数部分是无限不循环的。这些数通常是无法精确表示的，比如圆周率
π 和 2 的平方根。
（2）无理数与有理数的区别：有理数是可以表示为两个整数比的数，如
0.75，且它们的十进制表示要么是有限小数，要么是无限循环小数。无理数则不具备这些特征，它们的小数部分是无限且不重复的。例如，
=1.414213562…，它的小数部分没有规律，无法被准确表示为一个分数。
（3）常见的无理数类型：
开不尽的方根，如
特殊结构的无限不循环小数，如
0.0003...（其中数字 3 和 0 按特定规则递增）；
含有
π 的数，例如
2π 等。
注意，判断一个数是否为无理数时，不仅要看其形式，还需通过化简判断。有些看起来像无理数的数，经过化简后实际上可能是有理数。
2. 估算无理数的大小
在实际运算中，由于无理数的特殊性质，我们通常采用逼近法来估算其值。通过用有理数接近无理数，可以得到无理数的近似值。
三、实数的运算
1. 运算规则
在实数的运算中，涉及到乘方与开方、幂的运算、指数运算（特别是负整数指数和零指数的运算）、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的简化等内容。
2. 运算顺序
在进行多步运算时，应遵循一定的顺序：首先计算乘方运算，然后进行乘除运算，最后处理加减运算。如果表达式中有括号，应先计算括号内的部分；同一优先级的运算从左到右进行。进行运算时要特别注意符号的处理，确保运算顺序准确。
3. 运算律的应用
使用运算律可以简化计算过程，提高计算速度和准确性。熟练掌握并合理应用这些运算律，有助于更高效地解决数学问题。