广义相对论是物理学中一个高深且复杂的领域，要真正理解它，确实需要深厚的数学背景。广义相对论涉及的几何学极其复杂，需要掌握大量的数学知识和技巧。
“弯曲时空”是一个让人感到困惑的概念，但在低维空间中，“曲率”和“弯曲性”是直观且基本的概念。对于有视觉的生物来说，弯曲和直线是识别形状的关键概念。
当数学家关注日常概念时，他们试图将这些概念扩展到我们所熟悉的范围之外。数学是一门研究规律和抽象概念之间关系的科学。当数学家对这些我们认为理所当然的概念进行深入的提炼和抽象，再尽可能地拓展它们时，可能会得到与我们原先的理解大相径庭的结果。
当我们听到“曲率”这个词时，我们会期望它与我们已经熟悉的、可以直观感受到的东西有关。在更高维度的空间中，我们的直观感受会失效，因为无法直接在心里想象出四维或更高维度空间的曲率。
在数学中，特别是在几何学中，“平坦几何”有更具体的含义。它指的是遵循欧几里得体系的几何学。在这个体系中，平行线永远不会相交，两条线段的最短距离是一条直线。对于数学家来说，说一个几何空间是“平坦的”意味着这个空间遵循欧几里得几何学的规则。
数学历史上，摆脱欧几里得几何学的发展过程富有成果。尤其在十九世纪，数学家开始探索欧几里得几何学之外的几何体系，如非欧几里得几何学。进入二十一世纪，现代几何学继续是一个充满活力的研究领域。
要理解二维曲面的曲率时，我们可以观察曲面如何从一个平面弯曲进入第三维度空间。考虑曲面在垂直于原始平面方向上的弯曲程度，例如球面和圆柱面的曲率特性。在三维及以上维数的流形中，我们需要放弃“弯曲性”和“弯曲”的概念，转向更强大、更抽象的概念。
在现代微分几何学中，偏离或不符合欧几里得几何的几何结构提供了更多的灵活性和有效性。这种偏离欧几里得几何的性质可以通过两个数学工具来量化：黎曼曲率张量和扭曲张量。
曲率张量是一种数学工具，用于衡量空间中协变导数的不可交换性。在平坦的欧几里得空间中，协变导数是可交换的。在弯曲的空间中，这种交换性通常不成立。曲率张量就是用来描述这种不可交换性的程度。
曲率张量的概念背后有一个有趣的历史。它始于二维曲面的曲率研究，其中十九世纪的几何学家认为曲面嵌入在三维和更高维度的空间中。通过构造密切曲面的圆并计算其曲率，可以定义主曲率和高斯曲率等概念。
博利亚伊和洛巴切夫斯基分别独立地证明了欧几里得的第五公设在逻辑上独立于其他四个公设。他们通过构造不满足第五个公设的几何模型来证明这一点，这些模型构成了双曲几何的基础。
从高斯、洛巴切夫斯基和博利亚伊开始的历史到广义相对论之间有一条清晰路径。黎曼几何的研究通过里奇微积分和张量分析的发现得到了系统化，这引导我们到了黎曼几何的基本定理和对曲率张量作为偏离欧几里得第五公设的量化采用。
在爱因斯坦的广义相对论中，曲率被视为方向协变导数之间的换位子。Holonomy概念被用来描述测试向量在绕环路平行移动时的变化。黎曼曲率张量可以被看作是一个矩阵（变换）值函数，它接受两个向量并输出一个变换。这个变换可以计算由于绕环路平行移动而引起的变化。一个空间是欧几里得空间当且仅当这个变换是恒等变换。
广义相对论及相关的数学工具与概念为我们提供了对宇宙更深层次的理解。通过研究空间的曲率和几何属性，我们可以更全面地探索物理世界的奥秘。