大家好，我是前端技术分享者。今天我们将深入探讨变换矩阵的奥妙。
变换矩阵的概念源于线性代数。
我们来看一个二维向量 (x， y)。在数学中，我们常常这样表示它：
在几何学中，向量通常用一条从原点出发的箭头来表示。
向量也可以被视为一个点。当需要绘制大量向量时，过多的箭头会使画面显得混乱，因此我们选择将其简化为点。
关于向量加法：其实就是将对应位置的数值相加。在几何中，通过将多个向量的起点连接起来，其路径就是加法的结果。
数乘：也称为标量乘法，是将向量与一个常数相乘。这个过程同样是对应位置相乘。在几何学中，这表现为对向量的缩放：
理解了上述概念后，我们知道一个二维向量是由 x 轴和 y 轴上的单位向量（即 基向量）缩放后组合而成。
现在让我们来探讨今天的主题 线性变换。
线性变换的“变换”指的是一种函数，它接受一个向量并返回另一个向量。在几何学中，这表示一个向量如何从原来的位置经过（如缩放、旋转等）过程到达新的位置。
而线性变换的“线性”则表示这种变换具有一些特性。它保持直线的形状不变，即直线在变换后仍然是直线；原点始终保持在原来的位置。
从另一个角度看，线性变换可以理解为矩形的每列改变了对应基向量的值。
以之前的公式为例，我们的 (x， y) 向量是基于 i 向量 (1， 0) 和 j 向量 (0， 1) 进行数乘得到的。但是通过一个矩阵的作用，我们的 i 和 j 向量会发生变化，基于这个新的标准得到的新的值就是线性变换的输出向量。
接下来我们将介绍几种常见的变换矩阵。
缩放操作是对一个向量（或点）的 x 和 y 方向分别进行指定比例的缩放。
假设 x 方向的缩放比例为 sx，y 方向的缩放比例为 sy。简单的算法如下：
二维 2x2 缩放矩阵形式为：
进行二维矩阵运算时：
为了更好地理解，我们会在讲解平移时进一步解释使用三维缩放矩阵的原因。
三维缩放矩阵的形式为：
通过在底部和右侧添加适当的值即可得到。
平移操作是将一个向量（或点）的 x 和 y 方向分别移动一段距离。
假设 x 方向移动 dx 距离，y 方向移动 dy 距离。
在几何学中的描述为：
由于无法直接用一个二维矩阵来表示平移变换，我们需要将其升维至三维，通过额外的一个 z 轴的基向量的斜切来模拟二维中的平移。
为了进行平移操作，我们需要将输入向量升维，为其添加一个值为 1 的第三维度。
三维平移矩阵的形式为：
其运算过程为：
为了提高计算效率，我们常常使用 复合矩阵。这是一种将多个变换矩阵通过结合律计算出来的矩阵。它是多种矩阵的组。
由于平移操作的特殊性，我们通常不会使用 2x2 矩阵来表示一个完整的变换矩阵，而是使用 3x3 矩阵，以兼容平移矩阵。