- 运用简洁而熟悉的多项式来近似替代复杂的函数。
- 导数与积分在多项式的语境下，依然保持着易计算函数值的特点。
- 每个多项式完全由其系数定义，而这些系数又由函数在特定点的值及其导数所决定。
重温微分的概念
当条件允许时，在某点的附近可以进行某种近似计算。
我们可以得到如下结论:
近似表达式为:
如图所示，已知点x0处的函数值f(x0)，以及该点的导数值和函数的趋势。这里的趋势与真实值之间存在差异。当x与x0足够接近时，曲线近似为一条直线。随着x与x0的距离增大，这种差异也会逐渐增大。
观察下图两个曲线，当|x|的值非常小的时候，我们可以使用直线来进行近似表示。
仅依赖一阶导数来观察曲线的趋势可能会产生相当的误差。在某一点，我们可以用切线来近似替代曲线，但对于其他点则难以保证其准确性。我们需要其他的方法来提高精确度。一阶导数仅能判断当前点的相邻下一点是向上还是向下移动。
引入二阶导数，它表示一阶导数的未来变化趋势。坐标系被两根代表x0和y的二阶导数的红色线分为四个区域。
- 若y的二阶导数大于0，则下一个临近点位于两条红线所围成的右上区域；
- 若y的二阶导数小于0，则下一个临近点位于两条红线所围成的右下区域。
- 若在x0点处有相等的函数值和切线，则P(x0)=f(x0)；
- 若有相同的切线斜率，则P'(x0)=f'(x0)；
- 若弯曲方向一致，则P''(x0)=f''(x0)。
对于三阶及以上的导数与原函数f(x)的关系，虽然描述较为复杂，但随阶数的增加可观察到以下现象:
- 阶数越高，函数的增长速度越快；
- 高阶导数在x值较大时的影响更为显著；
- 对于复杂函数，低阶导数能更好地描述当前点附近的函数特性，而未来的走势则高度依赖于高阶多项式。
称f(x)在x0关于(x-)的n阶多项式表示法。
麦克劳林公式可视为泰勒多项式的一种特殊情况，它是当x0=0时泰勒多项式的特例。
随着阶数的提高，麦克劳林公式越来越接近原函数，如下图所示。
示例一：求函数的n阶麦克劳林展开式。
解答：
示例二：求函数f(x)=sin(x)的n阶麦克劳林展开式。
解答：
随着阶数的增加，函数图像先表现出低阶次幂的特性，如二次幂，而后逐渐显现出高阶次幂的特性，如九次幂。这一过程如同一部乐曲的旋律，先以轻快的节奏开始，随后逐渐过渡到更为激昂的旋律。高阶函数的增长速度明显加快，这便是阶乘在其中发挥作用的结果。阶乘限制了高阶次幂的过度增长，使函数能够更为真实地逼近原函数。
对于逼近y = sin(x)的函数，如上图所示，随着阶数的增加，函数的曲线越来越接近原函数。
请看下图曲线变化情况，开始时主要表现出二次幂的特性，随后才逐渐展现出九次幂的特性。