1.垂心详解：
（1）定义诠释：垂心是三角形高的交点，它具有独特的几何性质。
（2）性质概述：
[性质1] 锐角三角形的垂心位于三角形内部，直角三角形的垂心位于直角顶点，而钝角三角形的垂心则位于三角形外部。
[性质2] 三角形的垂心是其垂足三角形的内心所在点；反过来，三角形的内心所在的点是旁心三角形的垂心。
[性质3] 垂心O关于三边的对称点，均位于△ABC的外接圆上，形成特定的几何关系。
[性质4] 在△ABC中，存在六组四点共圆的情况，以及三组相似的直角三角形。
[性质5] 在O、A、B、C四点中，任一点都是其余三点为顶点的三角形的垂心，这样的四点组合被称为垂心组。
[性质6] △ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆为等圆，表明它们具有相同的半径。
[性质7] 三角形任一顶点到垂心的距离是外心到对边距离的两倍，体现了距离的倍数关系。
[性质8] 若O、H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO与∠HAC、∠ABH与∠OBC等角相等，呈现角度的对应性。
[性质9] 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的两倍，这是距离和的特定关系。
[性质10] 锐角三角形的垂心在垂足三角形中为内心；在所有内接三角形中，以原三角形的边上为顶点的内接三角形其周长最短。
[性质11] 对于非直角三角形，若H为垂心，D、E、F分别为H在BC、CA、AB上的射影，H1、H2、H3分别为△AEF、△BDF、△CDE的垂心，则△DEF与△H1H2H3全等，体现了几何图形的全等性。
[性质12] 三角形垂心H的垂足三角形的三边分别平行于原三角形外接圆在各顶点的切线，呈现出平行与切线的几何特性。
2.内心的阐释：
（1）定义诠释：内心是三角形内角平分线的交点，即内接圆的圆心。它是通过平分各内角来确定的点。
（2）性质详述：
[性质1] 三角形的内心到三边的距离均相等，且等于内切圆的半径r。
[性质2] 在∠BOC中，有∠ BOC=90°+∠BAC/2的关系。
[性质3] 在直角三角形中，内切圆切BC于D，则该三角形的面积S△ABC等于BD乘以DC。
3.重心的理解：
（1）重心的定义：重心是三角形中线的交点，它具有稳定三角形的特性。
（2）重心的特性详解：
[性质1] 三角形的重心到边的中点与到这条边所对的顶点的距离之比为1:2。
[性质2] 重心的存在使得重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
[性质3] 重心是三角形各顶点到其上的距离平方和最小的点。
[性质4] 在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数。