在前面的讨论中，我们涉及到了线性组合的概念，这里我们将继续探讨齐次方程组的基解。
让我们首先对齐次方程组进行高斯化简。我们通过系数矩阵来求解齐次方程组。利用高斯消元法，可以将系数矩阵化简为行简化阶梯形。
经过高斯消元法的处理，我们可以得到如下的解：
解得：x = 2s + t, s, t等参数。
通过高斯消去法得到的解可以表示为：
解的形式为：x = s的某种组合 + t的某种组合
这表明，我们可以把通解x表示为矩阵形式。在这个矩阵形式中，每一部分都是通过高斯消元法得到的特殊解。
定义：高斯算法能够生成任何齐次线性方程的参数解。每一个参数都有一个特定的解，我们称之为基解。
以一个具体例子来说明，上面的例子的解可以重新表述为：
如果我们引入一个新的参数r = t/5，我们可以将原来的基本解x2乘以5来消除分数。需要强调的是，任何非零的标量乘以一个基本解仍然被称为一个基本解。
定理：关于齐次方程组的一些重要性质和结论在这里不再赘述，但它们在求解过程中起着至关重要的作用。
例题：现在，我们来求解系数矩阵为A的齐次方程组的基本解，并将每个解表示为基本解的线性组合。其中，增广矩阵将通过高斯法化简为行简化阶梯形。
解：我们将增广矩阵用高斯消元法化简后，可以得到通解为x1 = 3r - 2s - 2t，x2 = r，x3 = -6s + t，x4 = s，x5 = t，其中r、s和t是参数。在矩阵形式中，这些解可以被看作是基本解的线性组合。