一、定理与逆定理的阐释
（1）定理：对于一元二次方程aX²+bX+c=0（其中a≠0），若其两个根为X1和X2，则有X1+X2的值等于-b/a，而X1乘以X2的值等于c/a。
（2）逆定理：若两个数X1和X2满足X1+X2=-b/a且X1乘以X2=c/a，则这两个数必为一元二次方程aX²+bX+c=0（a≠0）的根。
二、定理及逆定理的应用场景
（一）判断方程的根
例1：已知X1=2，X2=5，判断它们是否为一元二次方程X²-7X+10=0的根。
解答：由已知，X1+X2=7且X1乘以X2=10，2和5确实是一元二次方程X²-7X+10=0的根。
（二）求方程的根或系数
例2：已知一元二次方程X²+bX+12=0的一个根是4，求另一个根及b的值。
解答：设另一根为X2，由韦达定理知：4+X2=-b/a且4乘以X2=c/a。因为a=1，所以有4乘以X2=12，从而得到X2=3。再由4+3=-b得b=7。
（三）由根作方程
例3：已知一元二次方程的两根分别是5和8，求此方程。
解答：利用韦达定理得：方程应为X²-(5+8)X+58=0，即X²-13+40=0。
（四）利用韦达定理求代数式的值
例4：对于一元二次方程3X²-4X=-1的两根X1和X2，不求解方程直接求出代数式1/X1+1/X2的值。
解答：原方程变形为3X²-4X+1=0。利用韦达定理得到的关系式进行计算即可得出结果。
（五）判别根的性质与符号
①通过-b/a的值可以判断根的符号及绝对值大小。若-b/a>O，正根的绝对值较大；若-b/a<O，负根的绝对值较大；若-b/a=O，两根绝对值相等。
②利用c/a的值可以判断一元二次方程两实数根的符号是否相等及是否有根等于零。当c/a>0时，两实数根；当c/a<0时，两实数根异号；当c/a=O时，至少有一个根等于零。