关于阿喀琉斯是否能追上芝诺的乌龟这个问题,存在一种普遍的认知。
答案显然是否定的。芝诺以巧妙的逻辑将时间和空间持续分割,试图证明运动的非存在性。这种看法忽略了实质性的问题。
阿喀琉斯与芝诺的乌龟之间的距离虽然由无数个微小部分组成,但它们的总和却是一个确定且有限的距离。同样地,他所使用的时间间隔虽然看似无穷无尽,但它们的总和却是确定且有限的。在现实世界中,阿喀琉斯能够在短时间内追上那只行动缓慢的乌龟。
这一现象背后所涉及的是现代数学中的微分与积分概念。
将时间与空间(即距离)无限分割,反映了无穷小量的思想,也即微分的思想。而将这些无限小段以特定形式进行求和,得出一个确定的值,则正是定积分的定义。
从这一视角来看,我们可以说,对于芝诺的乌龟悖论,他只考虑了微分,而未进行积分操作。
在历史的长河中,微分和积分曾被视为两个截然不同的领域。受到芝诺的乌龟所引发的思考刺激,数学家们开始了对无穷小量的深入研究。直到牛顿-莱布尼茨公式的出现,他们才真正将微分与积分联系起来。
这个以两位数学大师命名的公式,为微积分学带来了性的突破。若函数在特定区间上连续且存在原函数,则该区间的定积分结果为原函数在区间两端的值之差。
在这个基本定理中,原函数与导数(也称为微商)有着紧密的联系。导数是由两个无穷小量的比值衍生而来,即dy/dx。而几何图形的切线斜率也与导数息息相关。
简单来说,对导数进行逆运算,即求得原函数。对于已知函数f(x),若存在可导函数F(x),使得在特定区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx,则在该区间内F(x)即为f(x)的原函数。
在微积分中,已知导数求原函数的过程被称为不定积分。不定积分与原函数的关系类似于总体与个体。而当我们将不定积分应用于实际问题时,如求函数图像包围的面积等,就需要用到定积分。
定积分与不定积分原本各自独立,但通过牛顿-莱布尼茨公式得以紧密相连。该公式使得定积分的计算可以转化为求导数的原函数,从而为连续变化的数量世界打开了大门。
微积分的诞生,使得这两个看似无关的数学领域融为一体。在一定程度上,微分与积分互为逆运算。这为数学帝国增添了一门真正的学科。
回望阿喀琉斯追赶芝诺乌龟的故事,我们可以说数学家们终于解决了时空连续性的问题,攻克了这一看似无解的难题。